[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:468|3|0]]ad uno degli altri due. Siano coniugati ${\displaystyle 5}$ e ${\displaystyle 9}$, ${\displaystyle 6}$ e ${\displaystyle 7}$. Le due rette reali ${\displaystyle 59}$, ${\displaystyle 67}$, e le due rette imaginarie coniugate ${\displaystyle 56}$, ${\displaystyle 79}$ si segano separatamente in due punti reali ${\displaystyle r,r_{1}}$, situati nella polare armonica del flesso ${\displaystyle 1}$ (139, a).

Essendo reali le rette ${\displaystyle 123}$, ${\displaystyle 148}$, i flessi ${\displaystyle 23}$, e così pure ${\displaystyle 48}$, sono o entrambi reali, o imaginari coniugati. D’altronde le coppie di rette ${\displaystyle (24,38)}$, ${\displaystyle (28,34)}$ devono dare gli altri due vertici ${\displaystyle r_{2},r_{3}}$, situati in linea retta con ${\displaystyle r,r_{1}}$. Ma ${\displaystyle r_{2}r_{3}}$ sono imaginari, dunque i punti ${\displaystyle 2348}$ non possono essere nè tutti reali, nè tutti imaginari; cioè ${\displaystyle 23}$ sono reali, e ${\displaystyle 48}$ imaginari.

Da ciò segue che de’ nove flessi di una cubica tre soli (in linea retta) sono reali, essendo gli altri imaginari coniugati a due a due^[1]. E delle dodici rette ${\displaystyle {\rm {R}}}$, che contengono le terne de’ flessi, quattro (${\displaystyle 123}$, ${\displaystyle 148}$, ${\displaystyle 259}$, ${\displaystyle 367}$) sono reali; le altre no. Uno de’ quattro trilateri sizigetici ha un solo vertice reale; un altro ne ha tre; i rimanenti nessuno.

(b) Come si è supposto sin qui, sia ${\displaystyle m}$ uno de’ punti in cui una data cubica del fascio sega la retta ${\displaystyle {\rm {I}}}$, e sia ${\displaystyle n}$ l’intersezione di questa medesima retta colla tangente al flesso ${\displaystyle i}$. Supponiamo poi che i punti ${\displaystyle {\rm {M,N}}}$ abbiano analogo significato per l’Hessiana della cubica suddetta; avremo similmente alla 8):

Ma l’Hessiana passa, come si è già osservato (143), pel punto ${\displaystyle n}$, talchè sarà:

9)	${\displaystyle {\overline {rn}}^{3}+3r\mathrm {N} .{\overline {rn}}^{2}-4h^{3}=0}$,

donde, dato il punto ${\displaystyle n}$, si desume il punto ${\displaystyle {\rm {N}}}$. Per esempio, se ${\displaystyle n}$ cade in ${\displaystyle r}$, si ha ${\displaystyle r\mathrm {N} =\infty }$, cioè ${\displaystyle {\rm {N}}}$ coincide con ${\displaystyle s}$; e se ${\displaystyle n}$ è uno de’ punti ${\displaystyle r_{1}r_{2}r_{3}}$, ossia se ${\displaystyle n}$ è dato dall’equazione

si ottiene:

vale a dire, ${\displaystyle {\rm {N}}}$ è uno de’ punti ${\displaystyle s_{1}s_{2}s_{3}}$. Di qui si ricava che le cubiche sizigetiche le cui tangenti al flesso ${\displaystyle i}$ passano per uno de’ punti ${\displaystyle rr_{1}r_{2}r_{3}}$ hanno per Hessiane i trilateri sizigetici; come già si è trovato altrove (143, a).

Se invece è dato il punto ${\displaystyle {\rm {N}}}$, l’equazione 9) dà i tre punti ${\displaystyle n}$ corrispondenti alle tre cubiche, la comune Hessiana delle quali è la curva relativa al dato punto ${\displaystyle {\rm {N}}}$ (143).

1. ↑ Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 265.