[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:471|3|0]]

Qui si offre immediatamente la ripartizione in tre diversi sistemi de’ quadrilateri completi inscritti in una cubica.

(c) Siano ${\displaystyle aa_{1},bb_{2}}$ due coppie di poli coniugati relative a due reti diverse; ${\displaystyle \alpha }$ il tangenziale di ${\displaystyle a}$ ed ${\displaystyle a_{1}}$; ${\displaystyle \beta }$ il tangenziale di ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle b_{2}}$. Siano ${\displaystyle c,c_{3},\gamma }$ le terze intersezioni della cubica colle rette ${\displaystyle ab,a_{1}b_{2},\alpha \beta }$; sarà ${\displaystyle \gamma }$ il tangenziale sì di ${\displaystyle c}$ che di ${\displaystyle c_{3}}$. Dunque ${\displaystyle c,c_{3}}$ sono due poli coniugati, relativi però alla terza rete (b). Così pure, se le rette ${\displaystyle ab_{2},a_{1}b}$ segano la cubica nei punti ${\displaystyle c_{2},c_{1}}$, questi sono poli coniugati rispetto alla terza rete medesima^[1].

147. — Dato un punto ${\displaystyle o}$ ed un fascio di coniche circoscritte ad un quadrangolo ${\displaystyle efgh}$, quale è il luogo de’ punti di contatto delle tangenti condotte da ${\displaystyle o}$ a queste coniche? Siccome per ${\displaystyle o}$ si può condurre una conica del fascio e quindi ad essa la tangente in ${\displaystyle o}$, così il luogo richiesto passa per ${\displaystyle o}$. Oltre ad ${\displaystyle o}$, ogni trasversale tirata per questo punto ne contiene altri due del luogo, e sono i punti doppi dell’involuzione che le coniche del fascio determinano sulla trasversale (49). Dunque il luogo richiesto è una cubica, la quale passa anche per ${\displaystyle efgh}$, poichè si può descrivere una conica del fascio che tocchi ${\displaystyle oe}$ in ${\displaystyle e}$, ovvero ${\displaystyle of}$ in ${\displaystyle f}$, ecc.

Ciascuna conica del fascio sega la cubica in altri due punti ${\displaystyle m,m'}$ (oltre ${\displaystyle efgh}$), che sono quelli ove la conica tocca le tangenti condotte per ${\displaystyle o}$. La retta ${\displaystyle mm'}$, polare di ${\displaystyle o}$ rispetto alla conica, passa per un punto fisso ${\displaystyle u}$ (il punto opposto ai quattro ${\displaystyle efgh}$) (65). Quando la conica passa per ${\displaystyle o}$, i due punti ${\displaystyle mm'}$ coincidono in ${\displaystyle o}$; laonde questa conica tocca la cubica in ${\displaystyle o}$, ed ${\displaystyle u}$ è il tangenziale di ${\displaystyle o}$.

Fra le coniche del fascio vi sono tre sistemi di due rette, e sono le coppie di lati opposti ${\displaystyle (ef,gh)}$, ${\displaystyle (eg,fh)}$, ${\displaystyle (eh,fg)}$ del quadrangolo dato; per ciascuno di essi i punti ${\displaystyle mm'}$ coincidono nel relativo punto diagonale. Donde segue che i punti diagonali ${\displaystyle o'o''o'''}$ del quadrangolo appartengono alla cubica, e le tangenti in questi punti concorrono in ${\displaystyle u}$.

Siccome le rette ${\displaystyle o(e,f,g,h)}$ sono tangenti alla cubica in ${\displaystyle e,f,g,h}$, così la conica determinata dai cinque punti ${\displaystyle oefgh}$ è la prima polare del punto ${\displaystyle o}$ rispetto alla cubica medesima. Analogamente la conica ${\displaystyle uoo'o''o'''}$ è la prima polare di ${\displaystyle u}$.

148. Sia ${\displaystyle o}$ un punto qualunque di una data cubica ${\displaystyle {\rm {C_{3}}}}$, ed ${\displaystyle u}$ il tangenziale di ${\displaystyle o}$. Se ${\displaystyle {\rm {K_{3}}}}$ è una cubica, la cui Hessiana sia ${\displaystyle {\rm {C_{3}}}}$, la conica polare di ${\displaystyle u}$ rispetto a ${\displaystyle {\rm {K_{3}}}}$ è un pajo di rette, una delle quali passa per ${\displaystyle o}$ (133, b); dunque la retta polare di ${\displaystyle o}$ rispetto a ${\displaystyle {\rm {K_{3}}}}$ passa per ${\displaystyle u}$. Ma ${\displaystyle u}$ giace anche nella retta polare di ${\displaystyle o}$ relativa a ${\displaystyle {\rm {C_{3}}}}$, giacchè quest’ultima curva è toccata in ${\displaystyle o}$ dalla retta ${\displaystyle ou}$; dunque in ${\displaystyle u}$ concorreranno le rette polari di ${\displaystyle o}$, relative a tutte le cubiche descritte pei punti comuni a ${\displaystyle {\rm {C_{3}}}}$ e ${\displaystyle {\rm {K_{3}}}}$ (84, c), ossia:

1. ↑ Hesse, Ueber Curven dritter Ordnung und die Kegelschnitte, welche diese Curven in drei verschiedenen Puncten berühren (Giornale di Crelle, t. 36, Berlino 1848, p. 148-152).