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| sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. | 57 |
[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:71|3|0]]
due cubiche gobbe, l’una rappresentabile colle equazioni:
| 8) |
A’C’ — B’2 = 0, B’D’ — C’2 = 0
|
e l’altra colle:
| 9) |
A’B’ — C’2 = 0, C’D’ — B’2 = 0
|
oltre poi quella più volte considerata, che è rappresentata dalle 1) o dalle 2).
22. I due sistemi di generatrici dell’iperboloide AD — BC = 0 sono rappresentati dalle equazioni:
1.º sistema ... A — ωB = 0, C — ωD = 0
2.º sistema ... A — θC = 0, B — θD = 0.
Ora dalle formole di sostituzione risulta evidente che i piani A’ = 0, B’ = 0, C’ = 0, D’ = 0 passano rispettivamente per le generatrici del primo sistema:
| A — λB = 0 | ; | A — λ’B = 0 | ; | A — λB = 0 | ; | A — λ’B = 0 |
| C — λD = 0 | C — λ’D = 0 | C — λD = 0 | C — λ’D = 0 |
e per le generatrici del secondo sistema:
| A — μC = 0 | ; | A — μC = 0 | ; | A — μ’C = 0 | ; | A — μ’C = 0 |
| B — μD = 0 | B — μD = 0 | B — μ’D = 0 | B — μ’D = 0 |
dunque i due sistemi di generatrici dell’iperboloide saranno anco rappresentabili colle equazioni:
1.º sistema ... A’ — xB’ = 0, C’ — xD’ = 0
2.º sistema ... A’ — yC’ = 0, B’ — yD’ = 0.
Ne segue che fra le tre cubiche gobbe sopra menzionate la 1) e la 8) incontrano ciascuna generatrice del primo sistema in un solo punto e ciascuna generatrice dell’altro sistema in due punti; mentre la 9) incontra ciascuna generatrice del primo sistema in due punti e ciascuna del secondo in un solo punto. Cerchiamo in quanti punti si seghino le linee 1) ed 8), ed in quanti le 1), 9).
Per trovare i punti comuni alle linee 1), 8), nelle 8) pongasi
avremo le:
bd (ω2 — μ) (ω2 — μ’) (ω — λ)2 + c2 (ω2 — μ)2 (ω — λ’)2 = 0
ac (ω2 — μ) (ω2 — μ’) (ω — λ’)2 + b2 (ω2 — μ’)2 (ω — λ)2 = 0