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| teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. | 75 |
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e la retta congiungente i loro fuochi è rappresentata dalle:
| 5) |
A — ωB + ω2C = 0 B — ωC + ω2D = 0.
|
Affinchè questa retta passi anche pe’ fuochi di due altri piani congiunti, le cui equazioni siano (1) e (2), il sistema delle equazioni (5) dovrà essere equivalente al sistema delle (3); epperò si dovrà avere:
il che dà:
p = σ2 — 3ωσ + 9ω2, σ1 = ω(σ — 3ω), σ2 = — ω3
s1 = ω(s — 3ω), s2 = σ2
per cui le equazioni (1) e (2) divengono:
| 6) |
A — 3ω2C + ω3D — σ(B — ωC) =0, A — 3ω2C + ω3D — s(B — ωC) =0 |
rimanendo σ indeterminata. Queste equazioni rappresentano infinite coppie di piani tutti passanti per la retta rappresentata dalle:
ossia:
Ne concludiamo che:
Qualunque retta che sia corda della cubica gobba contiene i fuochi di infinite coppie di piani congiunti tutti passanti per una stessa retta, la quale è l’intersezione dei piani osculatori della cubica ne’ punti comuni a questa ed alla prima retta.
Da questo teorema consegue quest’altro:
Per qualunque retta che sia l’intersezione di due piani osculatori della cubica gobba passano infinite coppie di piani congiunti, tutti aventi i fuochi su di una stessa retta, la quale si appoggia alla cubica ne’ punti di contatto de’ due piani osculatori passanti per la prima retta.
7.º La relazione fra s e σ, che si può scrivere così:
mostra che i piani rappresentati dalle equazioni (6) formano una involuzione. Dunque:
Le infinite coppie di piani congiunti passanti per una stessa retta, che sia comune intersezione di due piani osculatori della cubica gobba, sono in involuzione. I piani auto-