Si unisca il punto ${\displaystyle v_{2n+2}}$ al punto ${\displaystyle a_{1}}$ mediante una retta che seghi di nuovo la curva in ${\displaystyle v_{2n+3}}$. Si tiri la retta ${\displaystyle v_{2}v_{3}}$ che incontri ulteriormente la curva in ${\displaystyle a_{2}}$; e sia ${\displaystyle v_{2n+4}}$ la terza intersezione della curva colla retta ${\displaystyle v_{2n+3}a_{2}}$. Continuando in questo modo si otterranno altre ${\displaystyle 3n}$ trasversali contenenti le terne di punti

Ora dei ${\displaystyle 3(2n+1)}$ punti ${\displaystyle v_{1}v_{2}\dots v_{4n+2}}$, ${\displaystyle a_{1}a_{2}\dots a_{2n+1}}$ risultanti dall’intersezione della cubica colle ${\displaystyle 2n+1}$ rette

ve ne sono ${\displaystyle 6n}$ distribuiti sulle ${\displaystyle 2n}$ rette

dunque gli altri tre punti ${\displaystyle v_{1}v_{4n+2}a_{2n+1}}$ si troveranno pur essi in linea retta (Introd. 44). Dunque:

Se dei ${\displaystyle 3(2n+1)}$ punti che sono i vertici e le intersezioni delle coppie di lati opposti d’un poligono di ${\displaystyle 4n+2}$ lati, ve ne sono ${\displaystyle 6n+2}$ situati in una curva di terz’ordine, anche il punto rimanente apparterrà alla medesima curva.^[1]

28. Nel piano di una curva del terz’ordine si tirino due trasversali che seghino la curva nelle terne di punti ${\displaystyle (v_{1}v_{2}a_{1}),(w_{2}w_{3}a_{2})}$. Le due rette ${\displaystyle w_{2}a_{1},v_{2}a_{2}}$ incontrino la curva di nuovo in ${\displaystyle w_{1},v_{3}}$. Per ${\displaystyle v_{3}}$ si tiri ad arbitrio una trasversale che seghi la curva in ${\displaystyle (v_{3}v_{4}a_{3})}$; quindi congiunto ${\displaystyle w_{3}}$ con ${\displaystyle a_{3}}$, si ottenga la terna ${\displaystyle (w_{3}w_{4}a_{3})}$. Per ${\displaystyle w_{4}}$ si conduca ad arbitrio una trasversale che seghi la curva di nuovo nei punti ${\displaystyle w_{5}a_{4}}$, e congiunto ${\displaystyle v_{4}}$ con ${\displaystyle a_{4}}$, si ottenga la terza intersezione ${\displaystyle v_{5}}$. Si continui colla stessa legge finché siansi ottenute le terne ${\displaystyle (v_{2n-1}v_{2n}a_{2n-1})}$, ${\displaystyle (w_{2n-1}w_{2n}a_{2n-1})}$. Congiungasi allora ${\displaystyle v_{2n}}$ con ${\displaystyle v_{1}}$ e la retta così ottenuta incontri di nuovo la curva in ${\displaystyle a_{2n}}$.

Ora, dei ${\displaystyle 6n}$ punti ${\displaystyle v_{1}v_{2}\dots v_{2n}}$, ${\displaystyle w_{1}w_{2}\dots w_{2n}}$, ${\displaystyle a_{1}a_{2}\dots a_{2n}}$, che risultano dall’intersecare la cubica col sistema delle ${\displaystyle 2n}$ rette

1. ↑ Questo teorema, generalizzazione di uno notissimo dovuto a Poncelet (Introd. 45, c), mi è stato comunicato dal ch. prof. Brioschi.