curve principali eguale all’ordine della Jacobiana della rete. Analogamente la Jacobiana della rete nel piano ${\displaystyle P'}$ è costituita dalle curve principali di questo piano: alla quale proprietà corrisponde l’equazione

che si deduce dalle (1), (2).

7. Sia ${\displaystyle x}$ il numero delle volte che la curva principale ${\displaystyle C_{r}}$ (nel piano ${\displaystyle P}$) corrispondente al punto principale ${\displaystyle o_{r}'}$ (nel piano ${\displaystyle P'}$) passa pel punto principale ${\displaystyle o_{s}}$ (nel piano ${\displaystyle P}$) al quale corrisponda (in ${\displaystyle P'}$) la curva principale ${\displaystyle C_{s}'}$. Si conduca per ${\displaystyle o_{s}}$ una retta arbitraria ${\displaystyle T}$ che seghi ${\displaystyle C_{r}}$ in altri ${\displaystyle r-x}$ punti. Alla retta ${\displaystyle T}$ corrisponda una curva d’ordine ${\displaystyle n}$ composta di ${\displaystyle C_{s}'}$ e di un’altra curva ${\displaystyle K_{n-s}'}$. La ${\displaystyle C_{s}'}$ corrisponde al solo punto ${\displaystyle o_{s}}$, mentre ${\displaystyle K_{n-s}'}$ corrisponde agli altri punti di ${\displaystyle T}$. Ma i punti di ${\displaystyle C_{r}}$ corrispondono al punto ${\displaystyle o_{r}'}$; dunque ${\displaystyle K_{n-s}'}$ passa ${\displaystyle r-x}$ volte per ${\displaystyle o_{r}'}$, e conseguentemente ${\displaystyle C_{s}'}$ passerà ${\displaystyle r-(r-x)}$ volte per lo stesso punto ${\displaystyle o_{r}'}$. Ossia la curva ${\displaystyle C_{r}}$ passa tante volte per ${\displaystyle o_{s}}$ quante ${\displaystyle C_{s}'}$ per ${\displaystyle o_{r}'}$.

8. È noto che, se un punto è multiplo secondo ${\displaystyle s}$ per tutte le curve di una rete, esso sarà multiplo secondo ${\displaystyle 3s-1}$ per la Jacobiana. Dunque il numero totale dei rami delle curve principali (in ${\displaystyle P}$) che passano per un punto principale di grado ${\displaystyle s}$ è ${\displaystyle 3s-1}$. Ne segue, in virtù del teorema (7), che una curva principale d’ordine ${\displaystyle s}$ passa con ${\displaystyle 3s-1}$ rami pei punti principali del suo piano.^[1]

9. Una curva qualunque ${\displaystyle C_{n}'}$ della rete nel piano ${\displaystyle P'}$ ha ${\displaystyle r}$ rami incrociati nel punto principale ${\displaystyle o_{r}'}$, i quali hanno le rispettive tangenti tutte distinte, se nel piano ${\displaystyle P}$ la retta ${\displaystyle R}$ che corrisponde a ${\displaystyle C_{n}'}$ incontra in ${\displaystyle r}$ punti distinti la curva principale ${\displaystyle C_{r}}$ corrispondente ad ${\displaystyle o_{r}'}$. Ora siccome ${\displaystyle C_{r}}$ ha un numero di punti multipli equivalente ad ${\displaystyle {\tfrac {(r-1)(r-2)}{2}}}$ punti doppi, la classe di questa curva^[2] sarà ${\displaystyle 2(r-1)}$; dunque in un

1. ↑ <Indicando con ${\displaystyle x_{s}^{(r)}}$ la molteplicità di un punto principale d'ordine ${\displaystyle s}$ del piano ${\displaystyle P}$ per una curva principale d'ordine ${\displaystyle r}$ dello stesso piano, siccome questa curva è di genere zero, si ha
   ${\displaystyle \sum \limits _{s=1}^{s=r-1}{\frac {1}{2}}x_{s}^{(r)}(x_{s}^{(r)}-1)={\frac {1}{2}}(r-1)(r-2)}$.
   Inoltre si è dimostrato che
   ${\displaystyle \sum \limits _{s=1}^{s=r-1}{\frac {1}{2}}x_{s}^{(r)}=3r-1}$.
   Di qui
   ${\displaystyle \sum \limits _{s=1}^{s=r-1}{\frac {1}{2}}x_{s}^{(r)}(x_{s}^{(r)}+1)={\frac {1}{2}}r(r+3)}$,
   ossia ogni curva principale è pienamente determinata dai punti principali.>
2. ↑ Vedi anche Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane, 104 f. (Memorie dell’Accademia di Bologna, serie 1.^a tomo 12.°, 1862). [Queste Opere, n. 29 (t. 1.°)].