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E vengo finalmente alla questione delle parallele. È ben noto che, da tre secoli avanti Cristo, fino al secolo XIX, il celebre postulato euclideo delle parallele, è stato, come dice d’Alembert «lo scoglio e lo scandalo degli elementi della geometria».

La questione si può presentare così:

Attribuite allo spazio le proprietà relative alla continuità, alla connessione, alle relazioni di appartenenza tra punti, rette, piani e all’uguaglianza delle figure, enunciate tutte convenientemente sotto la forma rigorosa di postulati — che chiamerò in seguito i postulati A — si può da questi dedurre come conseguenza logica, che per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola retta a quella parallela?^[1]

Tralasciando di riferire dei tentativi fatti da Geometri greci ed arabi e dai commentatori di Euclide durante il Rinascimento, dirò soltanto, perchè è un motivo di legittimo compiacimento per noi Italiani, che le prime radici della moderna geometria non euclidea si trovano nell’opera di Gerolamo Saccheri. Ma il vero fondatore di questo ramo di geometria, che nonostante l’acre giudizio di Schopenhauer, è una delle più grandi conquiste dell’umano pensiero, il vero fondatore è C. F. Gauss.

I primi lavori organici di geometria non euclidea furono però pubblicati dal russo Lobacefski e dall’inglese Giovanni Bolyai nella prima metà del secolo XIX. Gli è che Gauss lasciò inediti i risultati delle sue meditazioni, perchè allora egli temeva «le strida dei Beoti».

Oltre all’ipotesi espressa dal postulato di Euclide (unicità della parallela), si presentano come possibili due altre ipotesi, che anche il Saccheri aveva considerate.

a) Per un punto si posson condurre due parallele ad una retta e tutte le rette comprese nell’angolo di quelle due,

1. ↑ Chi voglia vedere con precisione quali erano le premesse di Euclide, può consultare l’articolo di G. Fano, La geometria non euclidea, in questa «Rivista», 1908, t. IV, p. 257. Una chiara esposizione storico-critica della geometria non euclidea è dovuta a Bonola: La geometria non euclidea; Zanichelli, Bologna, 1906.