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ulisse dini

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Da questo evidentemente risulta subito la parte del teorema relativa alla divergenza di $\sum u_{n}$ , giacchè se $\lambda _{p}$ per es. avrà un limite negativo, o sarà sempre negativo fuori del limite, ciò vorrà dire che a partire da un certo valore di $n$ fino all’infinito la quantità sotto il logaritmo del numeratore di $\lambda _{p}$ sarà minore dell’unità, e quindi l’espressione

u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}

non avrà per limite zero, e

\sum u_{n}

sarà perciò divergente.

Resta a dimostrarsi la parte del teorema relativa alla convergenza di $\sum u_{n}$ .

Per dimostrarla intanto per $\lambda _{0}$ osserviamo dapprima che se $\lambda _{0}$ è sempre positiva e non tende a zero indicando con $\mu$ una quantità positiva e sufficientemente piccola, a partire da un certo valore di $n$ si avrà

$\mathrm {Log} \left\{{\frac {1}{u_{n}\varphi (n)}}\right\}>\mu \sigma _{n}.$

Ma per $n$ sufficientemente grande si ha

${\frac {\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}}>1+{\frac {1}{\mu }}\quad$ ovvero $\quad \sigma _{n}>\left(1+{\frac {1}{\mu }}\right)\mathrm {Log} ~\sigma _{n}$

giacchè il rapporto ${\frac {\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}}$ cresce indefinitamente con $n$ ^[1]; dunque sarà

$\mathrm {Log} \left\{{\frac {1}{u_{n}\varphi (n)}}\right\}>(1+\mu )\mathrm {Log} ~\sigma _{n},$

↑ Questo si vede in una maniera semplicissima così: Si osservi che la serie $\sum u_{n}=\sum {\frac {1}{\sigma _{n}^{2}}}$ è convergente, mentre la serie $\sum {\frac {1}{\varphi _{1}(n)}}=\sum {\frac {1}{\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}}$ è divergente (num. 8); se ne dedurrà subito (numero 10) che
$\lim \varphi _{1}(n)u_{n}=\lim {\frac {\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}{\sigma _{n}}}=0,$
ciò che mostra appunto che ${\frac {\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}}$ cresce indefinitamente con $n$ .
Così pure si troverebbe che $\lim {\frac {\sigma _{n}^{\mu }}{\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}}=\infty$ , $\lim \left\{{\frac {(\mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n})^{\mu }}{\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n}}}\right\}=\infty$ , qualunque sia la costante $\mu$ purchè positiva.

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[1] Questo si vede in una maniera semplicissima così: Si osservi che la serie $\sum u_{n}=\sum {\frac {1}{\sigma _{n}^{2}}}$ è convergente, mentre la serie $\sum {\frac {1}{\varphi _{1}(n)}}=\sum {\frac {1}{\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}}$ è divergente (num. 8); se ne dedurrà subito (numero 10) che
$\lim \varphi _{1}(n)u_{n}=\lim {\frac {\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}{\sigma _{n}}}=0,$
ciò che mostra appunto che ${\frac {\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}}$ cresce indefinitamente con $n$ .
Così pure si troverebbe che $\lim {\frac {\sigma _{n}^{\mu }}{\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}}=\infty$ , $\lim \left\{{\frac {(\mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n})^{\mu }}{\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n}}}\right\}=\infty$ , qualunque sia la costante $\mu$ purchè positiva.

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