[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Sulle serie a termini positivi.djvu{{padleft:3|3|0]]${\displaystyle {\frac {h_{n+1}}{h_{n}}},{\frac {h_{n+2}}{h_{n}}},\ldots }$ in generale saranno finiti e inoltre saranno minori dell'unità; e quindi indicando con ${\displaystyle \alpha }$ una quantità finita maggiore di tutti questi rapporti, si avrà

e se ne concluderà che la serie ${\displaystyle \sum u_{n}}$ sarà divergente se ${\displaystyle \lim {\frac {k_{n}}{h_{n}}}}$ è differente da zero.

Per questo e per ciò che precede noi possiamo dunque ora enunciare il seguente teorema.

Essendo ${\displaystyle k_{n}}$ una funzione di ${\displaystyle n}$ che col crescere di ${\displaystyle n}$ decresce continuamente ed ha per limite zero, la serie a termini positivi ${\displaystyle \sum u_{n}}$ sarà convergente se l'espressione

per ${\displaystyle n=\infty }$, ha un limite differente da zero; e sarà divergente se l'espressione

ha un limite differente da zero^[1].

2. Questo criterio lascia il dubbio quando ${\displaystyle h_{n}}$ ed ${\displaystyle m_{n}}$ tendono entrambe a zero. È facile però di vedere che per ogni serie ${\displaystyle \sum u_{n}}$ esistono infinite funzioni ${\displaystyle k_{n}}$ tali che il criterio riesce decisivo.

Supponiamo infatti dapprima che ${\displaystyle \sum u_{n}}$ sia convergente; si avrà subito una funzione conveniente ${\displaystyle k_{n}}$ prendendo ${\displaystyle k_{n}=R_{n}}$, giacchè, così facendo, si ottiene

Se poi ${\displaystyle \sum u_{n}}$ è divergente, si avrà una funzione conveniente ${\displaystyle k_{n}}$, prendendo

1. ↑ V. nota in fine.