[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Sulle serie a termini positivi.djvu{{padleft:31|3|0]]

Se si pone infatti

si avrà per la serie ${\displaystyle V'}$

ovvero

e di qui si vede che ${\displaystyle h_{n}}$ è difatti positiva, e se ${\displaystyle \mu \leq 1}$ si ha evidentemente ${\displaystyle \lim h_{n}=0}$. Se poi ${\displaystyle \mu >1}$, per es. ${\displaystyle \mu =2}$, si ha ancora

giacchè ${\displaystyle \sigma _{n}}$ cresce indefinitamente con ${\displaystyle n}$, e ${\displaystyle \varphi (n)}$ non tende a zero.

Da ciò risulta quanto avevamo enunciato^[1].

24. Per il teorema ora dimostrato, si può dunque affermare che, scelta una serie divergente ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}},}$ l’applicazione del criterio del num. 19 ci farà decidere della convergenza e divergenza di alcune serie; ma per altre si troverà

1. ↑ Il teorema dimostrato è analogo a quello che fu dato da Abel che ci dice che: non esiste una funzione ${\displaystyle \varphi ({\rm {n)}}}$ tale che la serie ${\displaystyle \sum {\rm {u_{n}}}}$ sia necessariamente convergente se ${\displaystyle \lim \varphi ({\rm {n){\rm {{u_{n}}=0}}}}}$, e divergente se ${\displaystyle \lim \varphi ({\rm {n){\rm {u_{n}}}}}}$ è diverso da zero. Questo, come è noto, si dimostra osservando che, ammesso che questa funzione ${\displaystyle \varphi (n)}$ esistesse, siccome per la serie ${\displaystyle \sum v_{n}=\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$ si ha ${\displaystyle \varphi (n)v_{n}=1}$, così ${\displaystyle \varphi (n)}$ dovrebbe esser tale che questa serie fosse divergente. Ma allora la serie ${\displaystyle \sum v'_{n}=\sum {\frac {1}{\varphi (n)\sigma _{n}}}}$ sarebbe pure divergente e non ostante per questa si avrebbe
   ${\displaystyle \varphi (n)v'_{n}={\frac {1}{\sigma _{n}}},\quad \lim \varphi (n)v'_{n}=0;}$
   ciò che è contro l’ipotesi.