[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Sulle serie a termini positivi.djvu{{padleft:39|3|0]]

Ma questa diseguaglianza (come dicemmo anche nel numero 1) equivale all’altra

ovvero

poichè ${\displaystyle a}$ è arbitrariamente piccola; quindi se ne conclude che la serie ${\displaystyle \sum u_{n}}$ sarà convergente se l’espressione

avrà un limite differente da zero; e questa è appunto la prima parte del teorema del numero 1.

2. Passerò adesso a dare qui il seguente teorema:

Se ${\displaystyle \sum {\rm {u_{n}}}}$ è una serie a termini positivi e decrescenti; se ${\displaystyle \psi ({\rm {n)}}}$ è una funzione positiva di ${\displaystyle {\rm {n}}}$ che ha valori interi per i valori interi di ${\displaystyle {\rm {n}}}$, che cresce indefinitamente con ${\displaystyle {\rm {n}}}$ ed è tale che il rapporto ${\displaystyle {\frac {\psi ({\rm {n+1)}}}{\psi ({\rm {n)}}}}}$ abbia un limite maggiore dell’unità e finito; se ${\displaystyle \varphi ({\rm {n)}}}$ è un’altra funzione positiva di ${\displaystyle {\rm {n}}}$ che col crescere di ${\displaystyle {\rm {n}}}$ cresce anch’essa indefinitamente ma in modo che il rapporto ${\displaystyle {\frac {\varphi ({\rm {n)}}}{\psi ({\rm {n)}}}}}$ tenda verso una quantità finita differente da zero^[1]; le due serie

saranno convergenti o divergenti insieme.

Questo teorema comprende come caso particolare un teorema dato già dal Cauchy, e può dimostrarsi nel modo seguente.

Osserviamo che, nelle ipotesi che abbiamo fatte, esisterà sempre un valore finito e differente da zero ${\displaystyle a}$ tale che si abbia, qualunque sia ${\displaystyle n}$,

(1)

${\displaystyle \varphi (n)u_{\psi (n)}>a\{u_{\psi (n)+1}+u_{\psi (n)+2}+\cdots +u_{\psi (n+1)}\};}$

1. ↑ Vale a dire le due funzioni ${\displaystyle \varphi (n)}$ e ${\displaystyle \psi (n)}$ col crescere indefinitamente di ${\displaystyle n}$ devono divenire infinite dello stesso ordine.