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Allora sarebbe

${\displaystyle {\frac {a_{2}}{a_{1}}}\leq k}$,

${\displaystyle {\frac {a_{3}}{a_{2}}}\leq k,\ldots }$,

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq k}$;

donde, moltiplicando membro a membro:

ossia:

${\displaystyle a_{n+1}\leq a_{1}k_{n}}$.

I termini della nostra serie

sarebbero ordinatamente minori o uguali dei termini della progressione geometrica decrescente

Quindi la nostra serie sarebbe convergente.

In modo analogo si prova che, se per tutti i valori di ${\displaystyle n}$ è ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1}$, la nostra serie è divergente.

Per il primo caso, per esempio, invece di ammettere che fosse

(5)	${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq k<1}$

per tutti i valori di ${\displaystyle n}$, basterebbe ammettere che questa disuguaglianza valesse a partire da un certo valore di ${\displaystyle n}$ in poi, per esempio, per ${\displaystyle n\geq m}$. La serie ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots }$ sarebbe ancora convergente.

Infatti, essendo soddisfatta la (5) per ${\displaystyle n\geq m}$, è convergente la serie

e quindi anche (§ 42, γ, pagina 142) la serie

Considerazioni analoghe valgono pel secondo caso.

Concludendo si ha il teorema: Se in una serie a termini positivi

il rapporto ${\displaystyle \mathrm {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}} }$ di un termine al precedente, da un certo punto in poi (ossia per ${\displaystyle n}$ maggiore o uguale ad un certo ${\displaystyle m}$), è uguale o minore di un numero fisso k minore di 1, la serie è con-

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