[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:310|3|0]]il primo membro di (1), avranno pertanto (confronta il lemma) il segno di ${\displaystyle {\bar {f''}}_{xx}}$, cioè di ${\displaystyle f''_{xx}}$, come dovevasi dimostrare.

Se ${\displaystyle f'_{x}=f'_{y}=0}$, ma ${\displaystyle f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}<0}$, il punto considerato non è di massimo nè di minimo.

Nulla si può affermare senza studii più minuti per un punto, in cui ${\displaystyle f'_{x}=f'_{y}=f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}=0}$.

Il teorema relativo alle condizioni sufficienti si dimostra anche osservando che (1) si può scrivere nella forma

ove ${\displaystyle \varepsilon ,\gamma ,\delta }$ tendono a zero per ${\displaystyle h=k=0}$. Posto ${\displaystyle h=\rho \cos \theta ,k=\rho \operatorname {sen} \theta }$, il secondo membro diventa la somma di

(2)	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho ^{2}\{\cos ^{2}\theta f''{xx}+2\operatorname {sen} \theta \cos \theta f''_{xy}\operatorname {sen} ^{2}\theta f''_{yy}\}+}$
	${\displaystyle +\rho ^{2}\{\epsilon \cos ^{2}\theta +2\gamma \operatorname {sen} \theta \cos \theta +\delta \operatorname {sen} ^{2}\theta \}}$.

Il coefficiente di ${\displaystyle \rho ^{2}}$ nel primo addendo ha il segno di ${\displaystyle f''_{xx}}$ e il suo minimo valore assoluto è maggiore di zero. Il coefficiente di ${\displaystyle \rho ^{2}}$ nel secondo membro è invece infinitesimo (per ${\displaystyle h=k=0}$). Dunque per ${\displaystyle |h|,|k|}$ abbastanza piccoli la (2) ha il segno del primo addendo, cioè ha il segno di ${\displaystyle f''_{xx}}$.