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Ora dalla ${\displaystyle \cos \theta =\cos {\left({\frac {\theta }{3}}+{\frac {\theta }{3}}+{\frac {\theta }{3}}\right)}}$ si deduce:

Mutando ${\displaystyle \theta }$ in ${\displaystyle \theta +2k\pi }$ (dove ${\displaystyle k}$ è un intero), si trova:

che si riduce alla precedente equazione quando si ponga:

${\displaystyle z=\cos {\frac {\theta +2k\pi }{3}}}$;

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2|p|{\sqrt {|p|}}}}=-{\frac {q}{2\rho }}}$.

È facile riconoscere che, se ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$ sono le tre radici della nostra equazione, valgono le identità:

${\displaystyle x^{3}+}$	${\displaystyle a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}$
	${\displaystyle a_{1}=-(x_{1}+x_{2}+x_{3})}$
	${\displaystyle a_{2}=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}}$
	${\displaystyle a_{3}=-x_{1}x_{2}x_{3}}$,

formole che sono affatto analoghe a quelle testè ricordate relative alle equazioni di secondo grado (Confronta anche il § 14).

Per risolvere l’equazione di quarto grado

${\displaystyle x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}=0}$

si indichino con ${\displaystyle c_{1}}$, ${\displaystyle c_{2}}$, ${\displaystyle c_{3}}$, ${\displaystyle c_{4}}$, le quattro radici (Confronta il § 14), e si ponga:

${\displaystyle z_{1}=c_{1}c_{2}+c_{3}c_{4}}$;

${\displaystyle z_{2}=c_{1}c_{3}+c_{2}c_{4}}$;

${\displaystyle z_{3}=c_{1}c_{4}+c_{2}c_{3}}$.

Sia ${\displaystyle z^{3}+\alpha z^{2}+\beta z+\gamma }$ l’equazione di terzo grado, che ha le radici ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$, ${\displaystyle z_{3}}$. I coefficienti di questa equazione non cambiano, come è facile verificare, permutando le ${\displaystyle c}$ ossia sono funzioni simmetriche delle ${\displaystyle c}$, che si possono subito calcolare quando sono date le ${\displaystyle \alpha }$ (Confronta il seguente § 14).

Risolvendo tale equazione di terzo grado, sì troveranno i valori delle ${\displaystyle z}$. Poichè ${\displaystyle (c_{1},c_{2})(c_{3}c_{4})=a_{4}}$, ${\displaystyle c_{1}c_{2}+c_{3}c_{4}=z_{1}}$, delle ${\displaystyle c_{1}c_{2}}$ e ${\displaystyle c_{3}c_{4}}$ si conoscono somma e prodotto, e quindi si possono calcolare, risolvendo un’equazione di secondo grado, sia ${\displaystyle c_{1}c_{2}}$, che ${\displaystyle c_{3}c_{4}}$. Dalle equazioni (Confronta il § 14)

${\displaystyle c_{1}c_{2}(c_{3}+c_{4})+c_{3}c_{4}(c_{1}+c_{2})=-a_{3}}$

${\displaystyle (c_{3}+c_{4})+(c_{1}+c_{2})=-a_{1}}$

si possono poi generalmente ricavare ${\displaystyle c_{3}+c_{4}}$ e ${\displaystyle c_{1}+c_{2}}$. Delle ${\displaystyle c_{1}}$, ${\displaystyle c_{2}}$, (come anche delle ${\displaystyle c_{3}}$ ${\displaystyle c_{4}}$) si conosceranno così somma e prodotto; e pertanto si possono dedurre i valori di tutte le ${\displaystyle c}$.

1. ↑ Le righe seguenti si potranno studiare soltanto dopo letto il § 14 a pagina 48 e seguenti; lo studio delle equazioni di 4° grado trova però ben scarse applicazioni.