[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:474|3|0]]Ne segue che i rapporti anarmonici de’ due fasci ${\displaystyle \alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})}$, ${\displaystyle \beta (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})}$ sono eguali, ossia che i sei punti ${\displaystyle [00]}$, ${\displaystyle [11]}$, ${\displaystyle [22]}$, ${\displaystyle [33]}$, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ giacciono in una stessa conica, come si è già dimostrato altrove (131, a).

Analogamente, concorrendo in ${\displaystyle c_{1}}$ le quattro rette ${\displaystyle a_{0}b_{1}}$, ${\displaystyle a_{1}b_{0}}$, ${\displaystyle a_{2}b_{3}}$, ${\displaystyle a_{3}b_{2}}$, i due fasci ${\displaystyle \alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})}$, ${\displaystyle \beta (b_{1},b_{0},b_{3},b_{2})}$ avranno eguali rapporti anarmonici; ecc.

(d)	Come nel punto	${\displaystyle c_{0}}$	concorrono le rette	${\displaystyle [01][10],[02][20],\dots }$
così	„	${\displaystyle c_{1}}$	„	${\displaystyle [00][11],[22][33],\dots }$
	„	${\displaystyle c_{2}}$	„	${\displaystyle [00][22],[33][11],\dots }$
	„	${\displaystyle c_{3}}$	„	${\displaystyle [00][33],[11][22],\dots }$[1].

Dunque i punti ${\displaystyle [00],[11],[22],[33]}$, ove si segano i raggi omologhi de’ due fasci projettivi ${\displaystyle \alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})}$, ${\displaystyle \beta (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})}$ formano un quadrangolo completo, i cui punti diagonali ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$ appartengono alla cubica e sono i punti di contatto di tre tangenti concorrenti in ${\displaystyle \gamma }$, terza intersezione della curva colla retta ${\displaystyle \alpha \beta }$.

Quando i punti ${\displaystyle \alpha \beta }$ coincidano, ritroviamo un teorema già dimostrato (146, a).

(e) I punti ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ sono i centri di due fasci projettivi, ne’ quali alle rette ${\displaystyle \alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})}$ corrispondono ${\displaystyle \beta (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})}$. Condotta per ${\displaystyle \alpha }$ una retta qualunque che seghi ${\displaystyle \beta b_{0}}$ nel punto ${\displaystyle [x0]}$; unito ${\displaystyle [x0]}$ con ${\displaystyle c_{0}}$ mediante una retta che seghi ${\displaystyle \alpha a_{0}}$ in ${\displaystyle [0x]}$; sarà ${\displaystyle \beta [0x]}$ la retta corrispondente ad ${\displaystyle \alpha [x0]}$^[2]. In questo modo si trova che alla retta ${\displaystyle \alpha \beta }$ corrisponde ${\displaystyle \beta c_{0}}$ od ${\displaystyle \alpha c_{0}}$, secondo che ${\displaystyle \alpha \beta }$ si consideri appartenente al fascio ${\displaystyle \alpha }$ o ${\displaystyle \beta }$. Dunque (59) ${\displaystyle \alpha c_{0}}$, ${\displaystyle \beta c_{0}}$ sono le tangenti in ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ alla conica generata dai due fasci projettivi; ossia (107) ${\displaystyle c_{0}}$ è il polo della retta ${\displaystyle \alpha \beta }$ rispetto alla conica ${\displaystyle \alpha \beta [00][11][22][33]}$.

Analogamente, i punti ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$ sono i poli della retta ${\displaystyle \alpha \beta }$ rispetto alle altre tre coniche passanti per ${\displaystyle \alpha \beta }$ e per le intersezioni delle tangenti che concorrono in ${\displaystyle \alpha }$ ed in ${\displaystyle \beta }$ (131, a). Ossia:

Le tangenti che si possono condurre ad una cubica da due suoi punti ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ si segano in sedici punti ${\displaystyle [xy]}$ situati a quattro a quattro in quattro coniche passanti per ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$.

I poli della retta ${\displaystyle \alpha \beta }$ rispetto a queste coniche giacciono nella cubica, la quale è ivi toccata da quattro rette concorrenti in ${\displaystyle \gamma }$, terza intersezione della curva colla retta ${\displaystyle \alpha \beta }$.

I poli di ${\displaystyle \alpha \beta }$ rispetto a tre qualunque fra quelle coniche sono i punti diagonali del quadrangolo completo avente per vertici i quattro punti ${\displaystyle [xy]}$ situati nella quarta conica^[3].

(f) La conica polare di ${\displaystyle c_{0}}$, oltre al toccare la cubica in ${\displaystyle c_{0}}$, la seghi ne’ punti ${\displaystyle pqrs}$. Ogni conica passante per ${\displaystyle pqrs}$ incontra la cubica in due altri punti che sono in linea

1. ↑ In ciascuno de’ punti ${\displaystyle c}$ concorrono sei rette analoghe a ${\displaystyle [01][10]}$.⁹⁵
2. ↑ {Perchè ${\displaystyle c_{0}}$ è il punto in cui concorrono le rette che uniscono le intersezioni delle coppie alterne di raggi, come ${\displaystyle (\alpha a_{0},\beta b_{1})}$, ${\displaystyle (\alpha a_{1},\beta b_{0})}$; ${\displaystyle (\alpha a_{0},\beta b_{2})}$, ${\displaystyle (\alpha a_{2},\beta b_{0})}$; ecc.⁹⁶}
3. ↑ Salmon, Théorèmes sur les courbes de troisième degré, p. 276, — Higher plane curves, p. 134.