[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:85|3|0]]dall’elemento e di incrocio) e per il complemento algebrico di b nel complemento algebrico A di a e si sommino i risultati così ottenuti.

${\displaystyle R'}$ si otterrebbe similmente sommando i prodotti di ogni ${\displaystyle a}$ per ogni ${\displaystyle b}$ e per il complemento di ${\displaystyle a}$ nel complemento ${\displaystyle B}$ di ${\displaystyle b}$. Per il teorema II sarà dunque ${\displaystyle R=R'}$, come dovevasi dimostrare.

Osservazione - Da questa dimostrazione segue che il valore di un determinante si ottiene sommando insieme:

${\displaystyle \alpha )}$il prodotto di un suo elemento ${\displaystyle c}$ scelto ad arbitrio per il suo complemento algebrico;

${\displaystyle \beta )}$i prodotti ottenuti moltiplicando un elemento ${\displaystyle a}$ posto sulla riga di ${\displaystyle c}$ per un altro elemento ${\displaystyle b}$ posto sulla stessa colonna di ${\displaystyle c}$, per il complemento algebrico di ${\displaystyle a}$ nel complemento di ${\displaystyle b}$ (o, cioè che è lo stesso, il complemento di ${\displaystyle b}$ nel complemento di ${\displaystyle a}$).

Un risultato analogo si ottiene se gli stessi elementi ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, descrivono due linee parallele, per esempio due righe, restando però sempre in colonne distinte. In tale caso naturalmente non si parla più di elemento di incrocio.

Teorema I. Se noi scambiamo ordinatamente le righe con le colonne, il determinante D non muta (cioè diventa un determinante ${\displaystyle D'}$ uguale a D).

Ciò si può dimostrare o notando che per la stessa definizione le righe e le colonne hanno lo stesso ufficio nel calcolo di ${\displaystyle D}$, oppure [ammesso il teorema per i discriminanti di ordine più piccolo dell’ordine di ${\displaystyle D}$, perchè il teorema è evidente per i determinanti di ordine 1, 2] osservando che, sviluppando ${\displaystyle D}$ secondo gli elementi della prima riga, si ha un risultato identico come sviluppando ${\displaystyle D'}$ a partire dalla prima colonna.

Teorerma II. Trasponendo (scambiando) due linee parallele, il determinante D cambia di segno (cioè si muta in un determinante ${\displaystyle D'=-D}$; anzi i termini di ${\displaystyle D'}$ sono ordinatamente uguali e di segno opposto a quelli di ${\displaystyle D}$)^[1].

1. ↑ Un determinante ${\displaystyle D}$ di ordine ${\displaystyle n}$ è una somma di più quantità ${\displaystyle T}$, ciascuna delle quali è un prodotto di ${\displaystyle n}$ elementi del determinante stesso. Queste ${\displaystyle T}$ si dicono i termini di ${\displaystyle D}$ (confronta i teoremi del seguente § 21). Un termine ${\displaystyle D}$ è il prodotto di un suo elemento per un termine del complemento algebrico dell’elemento stesso.