Come Sommare e Sottrarre Radici Quadrate

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Per poter sommare e sottrarre fra loro le radici quadrate, queste devono avere lo stesso radicando. In altre parole, puoi sommare o sottrarre 2√3 con 4√3 ma non 2√3 con 2√5. Ci sono molte situazioni in cui puoi semplificare il numero sotto radice per poter procedere alle operazioni di somma e sottrazione.

Parte 1

Parte 1 di 2:

Comprendere le Basi

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Quando possibile, semplifica ogni valore sotto radice. Per eseguire questa operazione, devi scomporre il radicando in fattori per trovarne almeno uno che sia un quadrato perfetto, come 25 (5 x 5) o 9 (3 x 3). A questo punto, puoi estrarre dal segno di radice il quadrato perfetto e scriverlo alla sinistra del radicale lasciando gli altri fattori all’interno. Per esempio consideriamo il problema: 6√50 - 2√8 + 5√12. I numeri esterni alla radice sono detti coefficienti e i numeri sotto il segno di radice radicandi. Ecco come puoi procedere alla semplificazione:
- 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Hai scomposto in fattori il numero "50" trovando "25 x 2", hai estratto dalla radice il "5" del quadrato perfetto "25" e lo hai posto alla sinistra del radicale. Il numero "2" è rimasto sotto radice. Ora moltiplica "5" per "6", il coefficiente che già si trova fuori radice, e ottieni 30.
- 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. In questo caso hai scomposto "8" in "4 x 2", hai estratto "2" dal quadrato perfetto "4" e lo hai scritto a sinistra del radicale lasciando "2" all’interno. A questo punto moltiplica "2" per "2", il numero che già si trova fuori dalla radice, e ottieni 4 come nuovo coefficiente.
- 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Scomponi "12" in "4 x 3" ed estrai "2" dal quadrato perfetto "4". Scrivilo alla sinistra della radice lasciando "3" all’interno. Moltiplica "2" per "5", il coefficiente già presente fuori dal radicale, e ottieni 10.
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Cerchia ogni termine dell’espressione che ha lo stesso radicando. Una volta eseguite tutte le semplificazioni, otterrai: 30√2 - 4√2 + 10√3. Poiché puoi sommare o sottrarre solo i termini con il medesimo radicando, dovresti cerchiarli per renderli più visibili. Nel nostro esempio si tratta di: 30√2 e 4√2. Puoi pensare a questa operazione come alla sottrazione e somma fra frazioni dove puoi combinare solo quelle con il medesimo denominatore.
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Se stai calcolando un'espressione più lunga e ci sono molti fattori con radicandi comuni, puoi cerchiare una coppia, sottolinearne un’altra, aggiungere un asterisco alla terza e così via. Riscrivi i termini dell’espressione in modo che sia più semplice visualizzare la soluzione.
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Sottrai o somma fra loro i coefficienti con lo stesso radicando. Ora puoi procedere alle operazioni di somma/sottrazione e lasciare immutate le altre parti dell’equazione. Non combinare i radicandi. Il concetto alla base di questa operazione è quello di scrivere quante radici con il medesimo radicando sono presenti nell’espressione. I valori non-simili devono rimanere da soli. Ecco cosa devi fare:
- 30√2 - 4√2 + 10√3 =
- (30 - 4)√2 + 10√3 =
- 26√2 + 10√3
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Parte 2

Parte 2 di 2:

Esercitarsi

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Primo esercizio. Somma le seguenti radici: √(45) + 4√5. Ecco il procedimento:
- Semplifica √(45). Per prima cosa scomponi in fattori il numero 45 e ottieni: √(9 x 5).
- Estrai il numero "3" dal quadrato perfetto "9" e scrivilo come coefficiente del radicale: √(45) = 3√5.
- Ora somma fra loro i coefficienti dei due termini che hanno il radicando comune e otterrai la soluzione: 3√5 + 4√5 = 7√5
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Secondo esercizio. Risolvi l’espressione: 6√(40) - 3√(10) + √5. Ecco come dovresti procedere:
- Semplifica 6√(40). Scomponi "40" in "4 x 10" e ottieni che 6√(40) = 6√(4 x 10).
- Estrai "2" dal quadrato perfetto "4" e moltiplicalo per il coefficiente esistente. Ora hai: 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
- Moltiplica fra loro i coefficienti:12√10.
- Ora rileggi il problema: 12√10 - 3√(10) + √5. Dato che i primi due termini hanno uguale radicando, puoi procedere alla sottrazione, ma dovrai lasciare immutato il terzo termine.
- Otterrai:(12-3)√10 + √5 che può essere semplificato con 9√10 + √5.
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Terzo esercizio. Risolvi la seguente espressione: 9√5 -2√3 - 4√5. In questo caso non ci sono radicandi con quadrati perfetti e non è possibile alcuna semplificazione. Il primo e il terzo termine hanno lo stesso radicando, quindi possono essere sottratti fra loro (9 - 4). I radicandi restano uguali. Il secondo termine non è simile e viene riscritto tale e quale: 5√5 - 2√3.
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Quarto esercizio. Risolvi la seguente espressione: √9 + √4 - 3√2. Ecco il procedimento:
- Dato che √9 è pari a √(3 x 3), puoi semplificare √9 in 3.
- Dato che √4 è pari a √(2 x 2), puoi semplificare √4 in 2.
- Ora svolgi la semplice somma: 3 + 2 = 5.
- Poiché 5 e 3√2 non sono termini simili, non c’è modo di sommarli fra loro. La soluzione finale è: 5 - 3√2.
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Quinto esercizio. In questo caso sommiamo e sottraiamo radici quadrate che fanno parte di una frazione. Proprio come nelle normali frazioni, puoi eseguire somme e sottrazioni solo fra quelle con denominatore comune. Supponiamo di risolvere: (√2)/4 + (√2)/2. Ecco il procedimento:
- Fai in modo che i termini abbiano lo stesso denominatore. Il minimo comune denominatore, il denominatore che è divisibile per entrambi i denominatori "4" e "2", è "4".
- Ricalcola il secondo termine, (√2)/2, con il denominatore 4. Per farlo devi moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per 2/2. (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
- Somma fra loro i numeratori delle frazioni lasciando immutato il denominatore. Procedi come una normale somma fra frazioni: (√2)/4 + (2√2)/4 = 3√2)/4.
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Consigli

Semplifica sempre i radicandi con un fattore che sia un quadrato perfetto, prima di iniziare a combinare i radicandi simili.

Avvertenze

Non sommare o sottrarre mai tra loro dei radicali non simili.
Non combinare numeri interi e radicali; ad esempio non è possibile semplificare 3 + (2x)^1/2.
- Nota: "(2x) elevato a 1/2" = (2x)^1/2 è un altro modo di scrivere "radice quadrata di (2x)".