Come Trovare la Moda di un Gruppo di Numeri

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In statistica la moda di un insieme di numeri è il valore che compare con maggior frequenza all'interno del campione. Un insieme di dati non necessariamente ha una sola moda; se due o più valori sono "destinati" a essere i più comuni, allora si parla rispettivamente di un insieme bimodale o multimodale. In altre parole, tutti i valori più comuni sono le mode del campione. Continua a leggere per avere ulteriori dettagli su come determinare la moda di un insieme di numeri.

Metodo 1

Metodo 1 di 2:

Trovare la Moda di un Insieme di Dati

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Scrivi tutti i numeri che compongono l'insieme. La moda, solitamente, si calcola a partire da un insieme di punti statistici o un elenco di valori numerici. Per tale ragione, hai bisogno di un gruppo di dati. Calcolare la moda a mente non è affatto facile, a meno che non si tratti di un campione piuttosto piccolo; quindi nella maggior parte dei casi è opportuno scrivere a mano (o digitare al computer) tutti i valori che compongono l'insieme. Se stai lavorando con carta e penna, basta elencare tutti i numeri in sequenza; se stai usando il computer, è meglio impostare un foglio di calcolo per delineare il processo.
- È più facile comprendere il procedimento con un problema di esempio. In questa sezione dell'articolo, consideriamo questo insieme di numeri: {18; 21; 11; 21; 15; 19; 17; 21; 17}. Nei prossimi passaggi, troveremo la moda del campione.
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Scrivi i numeri in ordine crescente. La fase successiva, solitamente, è quella di riscrivere i dati dal più piccolo al più grande. Anche se non è un procedimento strettamente indispensabile, rende però il calcolo decisamente più semplice, perché i numeri identici si troveranno raggruppati. Se si tratta di un campione molto esteso, invece, questo passaggio è fondamentale, perché è praticamente impossibile ricordare quante volte un valore si presenta e potresti commettere degli errori.
- Se stai lavorando con carta e matita, il fatto di riscrivere i dati ti farà risparmiare tempo in futuro. Analizza il campione cercando il valore più piccolo e, quando lo trovi, depennalo dall'elenco iniziale e riscrivilo nel nuovo insieme ordinato. Ripeti il processo per il secondo numero più piccolo, per il terzo e così via, assicurandoti di riscrivere il numero ogni volta che si presenta nell'insieme.
- Se stai usando il computer, hai molte più possibilità. Parecchi programmi di calcolo ti permettono di riordinare un elenco di valori dal più grande al più piccolo con pochi semplici clic.
- L'insieme considerato nel nostro esempio, una volta riordinato, avrà questo aspetto: {11; 15; 17; 17; 18; 19; 21; 21; 21}.
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Conta il numero di volte che si ripete ogni numero. A questo punto devi conoscere quante volte ogni valore appare all'interno del campione. Cerca il numero che si presenta con la frequenza maggiore. Per gli insiemi relativamente piccoli, con i dati riordinati, non è difficile riconoscere il "grappolo" più grande di valori identici e contare quante volte il dato si ripete.
- Se stai usando carta e penna, allora prendi nota dei tuoi calcoli scrivendo accanto a ogni valore quante volte questo si ripete. Se stai usando un computer, puoi fare lo stesso annotando la frequenza di ogni dato nella cella attigua oppure sfruttando la funzione del programma che conta il numero di ripetizioni.
- Consideriamo ancora il nostro esempio: ({11; 15; 17; 17; 18; 19; 21; 21; 21}), l'11 si presenta una volta, il 15 una volta, il 17 due volte, il 18 una volta, il 19 una e il 21 tre volte. Quindi possiamo dire che 21 è il valore più comune in questo insieme.
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Identifica il valore (o i valori) che si presenta con maggior frequenza. Quando conosci quante volte ogni dato è riportato nel campione, trova quello che ha maggiori ripetizioni. Questo rappresenta la moda del tuo insieme. Nota che può esserci più di una moda. Se due valori sono i più comuni, allora si parla di campione bimodale, se ci sono tre valori frequenti, allora si parla di campione trimodale e così via.
- Nel nostro esempio ({11; 15; 17; 17; 18; 19; 21; 21; 21}), dato che 21 si presenta un numero di volte maggiore rispetto agli altri valori, allora puoi affermare che 21 è la moda.
- Se un altro numero oltre a 21 si fosse presentato tre volte (ad esempio se ci fosse stato un altro 17 nel campione), allora il 21 e quest'altro numero sarebbero stati entrambi moda.
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Non confondere la moda con la media o la mediana. Si tratta di tre concetti statistici che vengono spesso discussi insieme perché hanno dei nomi analoghi e perché, per ogni campione, un singolo valore può rappresentarne simultaneamente più di uno. Tutto ciò può trarre in inganno e condurre all'errore. Tuttavia, a prescindere dal fatto che la moda di un gruppo di numeri sia o non sia anche la media e la mediana, devi ricordare che si tratta di tre concetti fra loro completamente indipendenti:
- La media di un campione rappresenta il valore medio. Per trovarla devi sommare fra loro tutti i numeri e dividere il risultato per la quantità di valori. Considerando il nostro campione precedente, ({11; 15; 17; 17; 18; 19; 21; 21; 21}), la media sarebbe 11 + 15 + 17 + 17 + 18 + 19 + 21 + 21 + 21 = 160/9 = 17,78. Nota che abbiamo diviso la somma per 9 perché 9 è il numero dei valori presenti nell'insieme.
- La "mediana" di un insieme di numeri è il "numero centrale", quello che separa i valori più piccoli dai più grandi dividendo il campione a metà. Prendiamo sempre in esame il nostro campione, ({11; 15; 17; 17; 18; 19; 21; 21; 21}), e ci rendiamo conto che 18 è la mediana, perché è il valore centrale e ci sono esattamente quattro numeri inferiori a lui e quattro superiori. Nota che se il campione è composto da un numero pari di dati, allora non ci sarà una sola mediana. In tal caso si procede a calcolare la media fra i due dati mediani.
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Metodo 2

Metodo 2 di 2:

Trovare la Moda in Casi Speciali

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Ricorda che la moda non esiste nei campioni composti da dati che appaiono un numero uguale di volte. Se l'insieme presenta dei valori che si ripetono con la stessa frequenza, allora non esiste un dato più comune degli altri. Ad esempio, un insieme composto da numeri tutti diversi non ha moda. Lo stesso accade se tutti i dati si ripetono due volte, tre volte e così via.
- Se cambiamo il nostro insieme d'esempio e lo trasformiamo così: {11; 15; 17; 18; 19; 21}, allora notiamo che ogni numero è scritto una sola volta e il campione non ha moda. Lo stesso si potrebbe dire se avessimo scritto il campione in questo modo: {11; 11; 15; 15; 17; 17; 18; 18; 19; 19; 21; 21}.
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Ricorda che la moda di un campione non numerico viene calcolata con lo stesso metodo. Di solito i campioni sono composti da dati quantitativi, cioè sono dei numeri. Tuttavia, potresti imbatterti in insiemi non numerici e in questo caso la "moda" è sempre il dato che si presenta con la frequenza maggiore, esattamente come per i campioni composti da numeri. In questi casi speciali puoi sempre trovare la moda, ma potrebbe essere impossibile calcolare una media o una mediana significativa.
- Supponiamo che uno studio di biologia abbia determinato le specie di albero in un piccolo parco. I dati dello studio sono i seguenti: {Cedro, Ontano, Pino, Cedro, Cedro, Cedro, Ontano, Ontano, Pino, Cedro}. Questo genere di campione è detto nominale, perché i dati sono distinti solo da nomi. In questo caso la moda è Cedro perché compare più spesso (cinque volte contro le tre dell'ontano e due del pino).
- Nota che per il campione preso in considerazione è impossibile calcolare la media o la mediana, dato che i valori non sono numerici.
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Ricorda che per le distribuzioni normali la moda, media e mediana coincidono. Come già affermato in precedenza, questi tre concetti possono sovrapporsi, in alcuni casi. In situazioni specifiche ben determinate, la funzione di densità del campione forma una curva perfettamente simmetrica con una moda (ad esempio nella distribuzione gaussiana "a campana") e la mediana, la media e la moda hanno lo stesso valore. Poiché la distribuzione della funzione rappresenta graficamente la frequenza di ciascun dato del campione, la moda si troverà esattamente al centro della curva simmetrica di distribuzione, quindi il punto più alto del grafico corrisponde al dato più comune. Considerato che il campione è simmetrico, questo punto corrisponde anche alla mediana, il valore centrale che separa a metà l'insieme, e alla media.
- Ad esempio, consideriamo il gruppo {1; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 5}. Se disegniamo il grafico corrispondente, troviamo una curva simmetrica il cui punto più alto corrisponde a y=3 e x=3 e i punti più bassi alle estremità saranno y=1 con x=1 e y=1 con x=5. Dato che 3 è il numero più comune, rappresenta la moda. Poiché il numero centrale del campione è 3 e ha quattro valori alla sua destra e quattro a sinistra, rappresenta anche la mediana. Infine, considerando che 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 = 27/9 = 3, allora 3 è anche la media dell'insieme.
- Fanno eccezione a questa regola i campioni simmetrici che hanno più di una moda; poiché in un gruppo esiste solo una media e una mediana, queste non possono coincidere simultaneamente con più di una moda.
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