Come Calcolare l'Equazione di una Retta Perpendicolare a una Retta Data

Trovare l'equazione della retta perpendicolare a una retta data è un processo semplice che può essere eseguito in due modi diversi. Il primo metodo prevede di utilizzare l'equazione della retta data e un punto $(x,y)$ dal quale la retta perpendicolare deve passare. Il secondo metodo prevede di utilizzare tre punti: due della retta di partenza e uno appartenente alla retta perpendicolare. Una retta si definisce perpendicolare a un'altra quando l'angolo di intersezione è pari a 90°. L'equazione che descrive una retta all'interno di un piano cartesiano è la seguente $y=mx+b$ . La variabile $y$ indica la retta, il prodotto fra la variabile $x$ e il coefficiente $m$ ne indica la pendenza, mentre il parametro $b$ indica il punto dell'asse Y dove la retta lo interseca.^{[1]
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Metodo 1

Metodo 1 di 2:

Usare un'Equazione e un Punto

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Semplifica l'equazione della retta di partenza. Se il problema dato specifica di usare l'equazione che descrive una retta e un punto per il quale deve passare la retta perpendicolare a quella data, il primo passo da compiere consiste nel riscrivere l'equazione nel formato $y=mx+b$ $y=mx+b$ . Per farlo occorre isolare la variabile $y$ $y$ in un membro dell'equazione.^{[2]
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- Per esempio, ipotizza di avere la seguente equazione $5y-x=10$ .
- Per isolare la variabile $y$ occorre spostare il termine ${-x}$ nel membro opposto dell'equazione sommando tale termine a entrambi i membri di quest'ultima. Eseguendo questo passaggio otterrai $5y=x+10$
- Semplifica il coefficiente $5$ del termine $5y$ dividendo entrambi i membri dell'equazione per $5$ .
- A questo punto l'equazione avrà assunto la seguente forma $y={\frac {1}{5}}x+2$ .
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Calcola il reciproco opposto del coefficiente che indica la pendenza della retta in esame. La retta perpendicolare a quella data dovrà avere una pendenza inversa e di segno opposto a quella della retta originale. Per risalire a tale informazione occorre calcolare il reciproco opposto. Due rette perpendicolari si intersecano sempre con un angolo di 90°, quindi devono avere una pendenza opposta. Quando si moltiplicano fra loro i coefficienti che indicano la pendenza di due rette perpendicolari, il risultato è sempre pari a $-1$ $-1$ .^{[3]
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- Ricorda che il termine $m$ dell'equazione rappresenta la pendenza della retta che descrive.
- Il reciproco opposto del termine $m$ dell'equazione $y={\frac {1}{5}}x+2$ è pari a ${-}{\frac {5}{1}}$ cioè $-5$ .
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Risolvi la nuova equazione usando le coordinate del punto passante dato per trovare l'ordinata del punto di intersezione della retta perpendicolare con l'asse Y. Adesso che hai calcolato la pendenza della retta perpendicolare puoi usarla unitamente alle coordinate del punto per cui deve passare la linea per risolvere l'equazione e trovare così il punto di intersezione della retta perpendicolare con l'asse Y. Utilizzando quest'ultimo valore potrai completare l'equazione che descrive la retta perpendicolare a quella originale.^{[4]
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- Ricorda che il termine $b$ rappresenta il punto di intersezione con l'asse Y della retta.
- Per esempio, ipotizza che le coordinate del punto dato siano $(8,2)$ dove $8$ rappresenta l'ascissa, cioè la coordinata $x$ mentre il valore $2$ rappresenta l'ordinata, ovvero la coordinata $y$ .
- Sostituisci i valori in esame all'interno dell'equazione $y=mx+b$ di cui conosci già la pendenza e i valori delle variabili $x$ e $y$ . In questo modo otterrai la seguente equazione $2={-5}(8)+b$ .
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Risolvi l'equazione ottenuta nel passaggio precedente per trovare il punto di intersezione della retta con l'asse Y. A questo punto puoi risolvere l'equazione in base al termine $b$ $b$ . Per isolare il termine $b$ $b$ in un membro dell'equazione, dovrai spostare tutti gli altri valori nel membro opposto. Quando avrai calcolato il valore del termine $b$ $b$ sarai pronto per scrivere l'equazione della retta perpendicolare a quella di partenza.^{[5]
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- Per isolare il termine $b$ dell'equazione $2={-40}+b$ occorre aggiungere il valore ${40}$ a entrambi i membri.
- A questo punto, eseguendo i calcoli otterrai il seguente risultato $42=b$ .
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Usa tutti i valori ottenuti, pendenza e punto di intersezione con l'asse Y, per scrivere la nuova equazione. Arrivato a questo punto hai tutte le informazioni che ti servono per risolvere il problema di partenza e scrivere l'equazione della retta perpendicolare a quella data nel seguente formato $y=mx+b$ $y=mx+b$ . Sostituisci il termine $m$ $m$ con il coefficiente che indica la pendenza che hai calcolato in precedenza e il termine $b$ $b$ con il valore che hai appena trovato.^{[6]
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- Arrivato a questo punto l'equazione della retta perpendicolare a quella data sarà la seguente $y={-5}x+42$ .
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Metodo 2

Metodo 2 di 2:

Calcolare la Retta Perpendicolare Usando Tre Punti

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Comprendi il significato delle coordinate che ti sono state date. Le coordinate dei tre punti che ti sono stati dati, appartenenti a due rette perpendicolari, non devono essere usati tutti nella medesima equazione. Le coordinate dei primi due punti appartengono a una retta, mentre quelle del terzo punto verranno usate per completare l'equazione della retta perpendicolare alla prima. L'obiettivo è quello di trovare le equazioni di due rette perpendicolari fra loro e descritte dall'equazione di base $y=mx+b$ $y=mx+b$ .^{[7]
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- Per esempio, ipotizza di dover trovare l'equazione di una retta che passa per il punto $(6,1)$ che sia perpendicolare alla retta che passa per i punti $(4,6)$ e $(2,3)$ .
- Per il momento focalizza l'attenzione sui punti $(4,6)$ e $(2,3)$ .
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Inserisci le coordinate dei primi due punti all'interno dell'equazione di base di una retta e risolvila. Per risalire all'equazione della retta perpendicolare a una retta data puoi usare due punti appartenenti a quest'ultima, cioè due punti per i quali tale linea passa. Prima di poter risalire all'equazione della retta perpendicolare occorre calcolare la pendenza della retta di partenza che passa per i due punti noti. La formula che si usa per calcolare la pendenza di una retta passante per due punti dati è la seguente $m={\frac {{y^{2}}-{y^{1}}}{{x^{2}}-{x^{1}}}}$ $m={\frac {{y^{2}}-{y^{1}}}{{x^{2}}-{x^{1}}}}$ . In questo caso i numeri posti accanto alle variabili $x$ $x$ e $y$ $y$ non sono esponenti di una potenza, ma indicano semplicemente a quali coordinate si riferiscono (se a quelle del punto numero 1 o a quelle del punto numero 2).^{[8]
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- Se i punti noti hanno le seguenti coordinate $(4,6)$ e $(2,3)$ , la formula per il calcolo della pendenza sarà la seguente $m={\frac {3-6}{2-4}}$ .
- Semplificando l'equazione $m={\frac {3-6}{2-4}}$ otterrai ${\frac {-3}{-2}}$ . Eseguendo gli ultimi calcoli arriverai al seguente risultato finale ${\frac {3}{2}}$ .
- A questo punto sai che la pendenza della retta perpendicolare a quella data è rappresentata dal termine ${\frac {3}{2}}x$ .
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Inserisci i due punti noti e il termine relativo alla pendenza all'interno dell'equazione di base di una retta. Adesso che conosci il valore del termine $m$ $m$ dell'equazione, relativo alla pendenza di una retta, puoi usarlo in combinazione con le coordinate $x$ $x$ e $y$ $y$ di uno dei due punti di intersezione noti, per trovare l'equazione della retta perpendicolare. Usando il valore della pendenza che hai appena calcolato non importa quale punto userai per risolvere l'equazione della retta di partenza. L'equazione che dovrai risolvere è la seguente ${y^{2}}-{y^{1}}=m({x^{2}}-{x^{1}})$ ${y^{2}}-{y^{1}}=m({x^{2}}-{x^{1}})$ . In questo caso gli esponenti delle variabili X e Y non rappresentano delle potenze, ma solo le coordinate del punto che dovrai usare.^{[9]
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- Usando le coordinate del punto $(4,6)$ , l'equazione assumerà la seguente forma: ${y}-{6}={\frac {3}{2}}*({x}-4)$ .
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Risolvi l'equazione in base alla variabile $y$ . Dopo aver scelto il punto di intersezione da usare in combinazione con la pendenza e aver sostituito i relativi valori all'interno dell'equazione data, dovrai eseguire i calcoli per risolverla. In questo modo troverai l'equazione della retta che passa per tale punto e potrai usarla per trovare l'equazione della retta perpendicolare corrispondente.^{[10]
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- Per semplificare l'equazione ${y}-{6}={\frac {3}{2}}*({x}-4)$ inizia moltiplicando il coefficiente numerico per i termini presenti in parentesi. Così facendo otterrai ${y}-{6}={\frac {3}{2}}{x}-6$ .
- A questo punto isola l'incognita $y$ in un membro dell'equazione sommando il valore $6$ a entrambi i lati e ottenendo ${y}={\frac {3}{2}}{x}+0$ . L'equazione ottenuta rappresenta la prima retta.
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Adesso calcola la pendenza della retta perpendicolare a quella che hai individuato nel passaggio precedente usando il metodo del reciproco opposto. La retta perpendicolare a una retta data ha sempre la pendenza opposta. La pendenza della retta di partenza è rappresentata da un numero intero positivo, quella della retta perpendicolare sarà rappresenta da una frazione negativa. Ricorda che il prodotto dei coefficienti della pendenza di due rette perpendicolari è sempre pari a $-1$ $-1$ .^{[11]
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- Il reciproco opposto di ${\frac {3}{2}}x$ è pari a ${-}{\frac {2}{3}}x$ .
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Risolvi l'equazione della retta perpendicolare. Usa il valore della pendenza che hai appena calcolato e le coordinate del terzo punto di intersezione dato per trovare l'equazione della retta perpendicolare a quella che passa per i primi due punti. Arrivato a questo punto sai che l'equazione parziale che descrive la retta perpendicolare a quella individuata nei passaggi precedenti è la seguente $y={-}{\frac {2}{3}}x$ $y={-}{\frac {2}{3}}x$ . Tuttavia, per completare il lavoro, ti mancano le coordinate del punto di intersezione della retta con l'asse Y. Sostituendo le coordinate del terzo punto di intersezione all'interno dell'equazione ${y^{2}}-{y^{1}}=m({x^{2}}-{x^{1}})$ ${y^{2}}-{y^{1}}=m({x^{2}}-{x^{1}})$ e inserendo il valore noto di $m$ $m$ potrai ottenere anche quest'ultimo pezzo del puzzle.^{[12]
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- Usa le coordinate del terzo punto di intersezione e inseriscile nell'equazione della retta perpendicolare. L'equazione derivante da tale processo è la seguente: ${y}-{1}={-}{\frac {2}{3}}({x}-{6})$ .
- Inizia semplificando l'equazione e ottenendo la seguente forma: $y-{1}={-}{\frac {2}{3}}x-6$ .
- Isola la variabile $y$ in un membro dell'equazione aggiungendo il valore $1$ ad ambo i lati.
- A questo punto l'equazione avrà assunto la sua forma finale: $y={-}{\frac {2}{3}}x-5$ . Si tratta dell'equazione della retta perpendicolare che stavi cercando.
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