Come Calcolare la Derivata di una Funzione

Info sull'Autore

Questa vuole essere una guida per aiutare chi deve occasionalmente calcolare le derivate di funzioni, in corsi non matematici come economia, ma può anche essere usata da chi ha appena iniziato a imparare l’analisi. Questa guida è pensata per coloro che hanno già dimestichezza con l'algebra.

Questa guida ha lo scopo di fornire uno degli strumenti che servono per calcolare le derivate di funzioni matematiche semplici; per una visione approfondita delle derivate o per le forme più avanzate di derivazione, come la regola della catena per le derivate parziali, ti consiglio di consultare il testo Calcolo. Funzioni di più variabili di James Stewart.

Il simbolo che userò per indicare una derivata è questo: '. Userò * per le moltiplicazioni e ^ per indicare un esponente.

Metodo 1

Metodo 1 di 6:

Panoramica sul Concetto di Derivata

La derivata rappresenta il tasso di variazione di una funzione. Per esempio, se hai una funzione che descrive la velocità con cui un’auto sta andando dal punto A al punto B, la sua derivata ti dirà l'accelerazione della vettura dal punto A al punto B (come cambierà la velocità dell’auto durante lo spostamento).

Metodo 2

Metodo 2 di 6:

Semplificare la Funzione

1
Conosci l’algebra. Semplifica la funzione – funzioni non semplificate avranno la stessa derivata ma sarà più difficile da calcolare.
- Esempio:
  - Equazione da semplificare:
  - (6x + 8x)/2 +17x +4
  - Passaggi:
    - (14x)/2 + 17x + 4
    - 7x + 17x + 4
  - Risultato finale:
    - 24x + 4
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Metodo 3

Metodo 3 di 6:

Identificare il Tipo di Funzione

1
Impara le diverse forme.
- Solo un numero (es. 4)
- Un numero moltiplicato per una variabile senza esponente (es. 4x)
- Un numero moltiplicato per una variabile con esponente (es. 4x^2)
- Un’addizione (es. 4x + 4)
- Una moltiplicazione di variabili (es. la forma x*x)
- Una divisione di variabili (es. la forma x/x)

Metodo 4

Metodo 4 di 6:

Un Numero

La derivata di una funzione in questa forma è sempre 0.
- Esempi:
  - (4)' = 0
  - (-234059)' = 0
  - (pi)' = 0
    - Lo sapevi? Questo perché non vi è alcun cambiamento nella funzione – il valore della funzione sarà sempre il numero dato.

Metodo 5

Metodo 5 di 6:

Un Numero Moltiplicato per una Variabile Senza Esponente

La derivata di una funzione di questo tipo è sempre un numero.
- Esempi:
  - (4x)' = 4
  - (x)' = 1
  - (-23x)' = -23
    - Lo sapevi? Se x non ha un esponente, la funzione sta crescendo a un tasso fisso e costante. Puoi riconoscere questo caso con l'equazione lineare y = mx + b.

Metodo 6

Metodo 6 di 6:

Un Numero Moltiplicato per una Variabile Con Esponente

1
Moltiplica il numero per il valore dell’esponente.
2
Sottrai 1 dall’esponente.

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Esempi:

(4x^3)' = (4*3)(x^(3-1)) = 12x^2

(2x^7)' = 14x^6

(3x^(-1))' = -3x^(-2)

Immagine titolata Calculate a Basic Derivative of a Function Step 4

Addizione

Considera separatamente la derivata di ogni parte dell’espressione.

Esempi:

(4x + 4)' = 4 + 0 = 4

((x^2) + 7x)' = 2x + 7

Moltiplicazione di Variabili

1. Moltiplica la prima variabile per la derivata della seconda variabile.

2. Moltiplica la seconda variabile per la derivata della prima variabile.

3. Somma i risultati.

Esempio:

((x^2)*x)' = (x^2)*1 + x*2x = (x^2) + 2x*x = 3x^2

Divisione di Variabili

1. Moltiplica la variabile al denominatore per la derivata della variabile al numeratore.

2. Moltiplica la variabile al numeratore per la derivata della variabile al denominatore.

3. Sottrai il risultato ottenuto al punto 2 a quello ottenuto al punto 1. Fai attenzione, l’ordine è importante!

4. Dividi il risultato ottenuto al punto 3 per il quadrato della variabile al denominatore.

Esempio:

((x^7)/x)' = (7x^6*x – 1*x^7)/(x^2) = (7x^7 - x^7)/(x^2) = 6x^7/x^2 = 6x^5

Avvertenza: Questo è forse il caso più difficile da affrontare, ma ne vale la pena. Assicurati di fare i passi e di sottrarre nell'ordine corretto, e tutto andrà liscio.