Come Calcolare la Frequenza Cumulata

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In statistica, la frequenza assoluta si riferisce al numero di volte che un particolare valore appare in una serie di dati. La frequenza cumulata esprime un concetto diverso: è la somma totale della frequenza assoluta dell'elemento della serie preso in esame e di tutte le frequenze assolute dei valori che lo precedono. Può sembrare una definizione molto tecnica e complicata, ma quando si tratta di passare ai calcoli tutto diventa molto più semplice.

Parte 1

Parte 1 di 2:

Calcolo della Frequenza Cumulata

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Ordina la serie di dati da studiare. Per serie, insieme o distribuzione di dati si intende semplicemente il gruppo di numeri o grandezze oggetto del tuo studio. Ordina i valori in ordine crescente, partendo dal più piccolo per arrivare al più grande.
- Esempio: la serie di dati da studiare mostra il numero di libri letti da ogni studente nel corso dell'ultimo mese. Dopo aver effettuato l'ordinamento dei valori ecco come si presenta l'insieme dei dati: 3, 3, 5, 6, 6, 6, 8.
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Calcola la frequenza assoluta di ogni valore. Per frequenza si intende il numero di volte che un determinato dato appare all'interno della serie (puoi chiamare questo valore "frequenza assoluta" in modo da non fare confusione con la frequenza cumulata). Il metodo più semplice per tenere traccia di questi dati consiste nel rappresentarli graficamente. Come intestazione della prima colonna, scrivi la parola "Valori" (in alternativa puoi usare la descrizione della grandezza che viene misurata dalla serie di valori). Come intestazione della seconda colonna, usa la parola "Frequenza". Popola la tabella con tutti i valori necessari.
- Esempio: nel nostro caso l'intestazione della prima colonna potrebbe essere "Numero di Libri", mentre quella della seconda colonna sarà la "Frequenza".
- Nella seconda riga della prima colonna, inserisci il primo valore della serie presa in esame: 3.
- Adesso calcola la frequenza del primo dato, cioè il numero di volte che il numero 3 appare nella serie di dati. Al termine del calcolo inserisci il numero 2 nella stessa riga della colonna "Frequenza".
- Ripeti il passaggio precedente per ogni valore presente nella serie di dati ottenendo la seguente tabella:
  - 3 | F = 2
  - 5 | F = 1
  - 6 | F = 3
  - 8 | F = 1
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Calcola la frequenza cumulata del primo valore. La frequenza cumulata risponde alla seguente domanda "quante volte appare questo valore o un valore più piccolo?". Inizia sempre il calcolo partendo dal valore più piccolo della serie di dati. Dato che non ci sono valori più piccoli del primo elemento della serie, la frequenza cumulata sarà uguale alla frequenza assoluta.
- Esempio: nel nostro caso il valore più piccolo è 3. Il numero di studenti che ha letto 3 libri durante il mese scorso è 2. Nessuno ha letto meno di 3 libri, quindi la frequenza cumulata è pari a 2. Inserisci il valore nella prima riga della terza colonna della nostra tabella, come segue:
  - 3 | F = 2 | CF=2
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Calcola la frequenza cumulata del valore successivo. Prendi in esame il valore successivo presente nella tabella di esempio. A questo punto abbiamo già identificato il numero di volte che è apparso il valore più piccolo della nostra serie di dati. Per calcolare la frequenza cumulata del dato in oggetto, dobbiamo semplicemente sommare la sua frequenza assoluta al totale precedente. In parole più semplici, occorre sommare all'ultima frequenza cumulata calcolata la frequenza assoluta dell'elemento corrente.
- Esempio:
  - 3 | F = 2 | CF = 2
  - 5 | F = 1 | CF = 2+1 = 3
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Ripeti il passaggio precedente per tutti i valori della serie. Prosegui esaminando i valori sempre maggior presenti all'interno dell'insieme di dati che stai studiando. Per ogni valore dovrai sommare la sua frequenza assoluta alla frequenza cumulata dell'elemento precedente.
- Esempio:
  - 3 | F = 2 | CF = 2
  - 5 | F = 1 | CF = 2 + 1 = 3
  - 6 | F = 3 | CF = 3 + 3 = 6
  - 8 | F = 1 | CF = 6 + 1 = 7
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Controlla il tuo lavoro. Al termine del calcolo avrai eseguito la sommatoria di tutte le frequenze assolute degli elementi che compongono la serie in esame. L'ultima frequenza cumulata dovrebbe quindi essere uguale al numero di valori presenti nell'insieme oggetto dello studio. Per controllare che tutto sia corretto puoi usare due metodi:
- Esegui la sommatoria delle singole frequenze assolute: 2 + 1 + 3 + 1 = 7, che corrisponde alla frequenza cumulata finale del nostro esempio.
- Oppure conta il numero di elementi che compongono la serie di dati presa in esame. L'insieme di dati del nostro esempio era il seguente: 3, 3, 5, 6, 6, 6, 8. Il numero di elementi che lo compongono è 7, che corrisponde alla frequenza cumulata complessiva.
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Parte 2

Parte 2 di 2:

Utilizzo Avanzato della Frequenza Cumulata

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Comprendi la differenza fra dati discreti e continui (o densi). Un insieme di dati viene definito discreto quando è numerabile attraverso unità intere, dove è impossibile determinare il valore di una parte dell'unità. Un insieme di dati continuo descrive elementi non numerabili, dove i valori misurati possono cadere in un punto qualsiasi delle unità di misura scelte. Ecco alcuni esempi per chiarire le idee:
- Numero di cani: discreto. Non esiste un elemento che corrisponda a "mezzo cane".
- La profondità di un cumulo di neve: continuo. La neve cadendo si accumula in un modo graduale e continuo che non può essere espresso con unità di misura intere. Provando a misurare un cumulo di neve il risultato sarà sicuramente una misura non intera — ad esempio 15,6 cm.
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Raggruppa i dati continui in sottoinsiemi. Le serie di dati continui sono spesso caratterizzate da un gran numero di variabili univoche. Se per calcolare la frequenza cumulata, provassi a utilizzare il metodo descritto in precedenza, la tabella risultante sarebbe estremamente lunga e poco leggibile. Inserendo invece un sottoinsieme di dati in ogni riga della tabella tutto risulterà più semplice e leggibile. La cosa importante è che ogni sottogruppo abbia le stesse dimensioni (ad esempio 0-10, 11-20, 21-30, eccetera), indipendentemente dal numero di valori che lo compongono. Di seguito trovi un esempio di come rappresentare graficamente una serie di dati continui:
- Serie di dati: 233, 259, 277, 278, 289, 301, 303
- Tabella (nella prima colonna inseriamo i valori, nella seconda la frequenza assoluta mentre nella terza la frequenza cumulata):
  - 200–250 | 1 | 1
  - 251–300 | 4 | 1 + 4 = 5
  - 301–350 | 2 | 5 + 2 = 7
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Rappresenta i dati su un grafico a linee. Dopo aver calcolato la frequenza cumulata, puoi rappresentarla graficamente. Disegna gli assi X e Y del grafico usando un foglio di carta a quadretti o millimetrata. L'asse X rappresenta i valori presenti nella serie di dati presa in esame, mentre sull'asse Y riporteremo i valori della relativa frequenza cumulata. In questo modo i prossimi passaggi saranno molto più semplici.
- Ad esempio, se la serie di dati è composta dai numeri dal 1 al 8, suddividi l'asse x in 8 unità. Per ogni unità presente sull'asse X, traccia un punto in corrispondenza della rispettiva frequenza cumulata presente sull'asse Y. Al termine congiungi tutti i punti contigui con una linea.
- Se esistono valori per cui non è stato tracciato un punto sul grafico, significa che la relativa frequenza assoluta è pari a 0. Quindi, sommando 0 alla frequenza cumulata dell'elemento precedente, quest'ultima non varia. Per il valore in oggetto puoi dunque riportare sul grafico un punto in corrispondenza della stessa frequenza cumulata dell'elemento precedente.
- Dato che la frequenza cumulata tende sempre ad aumentare in base alle frequenze assolute dei valori della serie in oggetto, graficamente dovresti ottenere una linea spezzata che tende verso l'alto mano a mano che ci si sposta verso destra sull'asse X. Se in un qualsiasi punto la pendenza della linea dovesse essere negativa, significa che molto probabilmente è stato commesso un errore nel calcolo della frequenza assoluta del relativo valore.
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Traccia la mediana (o punto mediano) del grafico a linee. La mediana è il punto che si trova esattamente al centro della distribuzione dei dati. Quindi metà dei valori della serie presa in esame sarà distribuita sopra al punto mediano, mentre l'altra metà sarà al di sotto. Ecco come individuare la mediana partendo dal grafico a linee preso come esempio:
- Osserva l'ultimo punto tracciato sull'estrema destra del grafico. La coordinata Y di detto punto corrisponde alla frequenza cumulata totale, che corrisponde quindi al numero di elementi che compongono la serie di valori presa in esame. Ipotizziamo che il numero di elementi sia 16.
- Moltiplica questo numero per ½, quindi individua il risultato ottenuto sull'asse delle Y. Nel nostro esempio otterremo 16 / 2 = 8. Trova il numero 8 sull'asse delle Y.
- Adesso individua il punto sulla linea del grafico corrispondente al valore dell'asse Y appena calcolato. Per farlo posiziona il dito sul grafico in corrispondenza dell'unità 8 dell'asse Y, quindi spostalo in linea retta verso destra finché non intersechi la linea che descrive graficamente l'andamento della frequenza cumulata. Il punto individuato corrisponde alla mediana dell'insieme di dati preso in esame.
- Individua la coordinata X del punto mediano. Posiziona il dito esattamente sul punto mediano appena individuato, quindi spostalo in linea retta verso il basso finché non interseca l'asse X. Il valore individuato corrisponde all'elemento mediano della serie di dati presa in esame. Ad esempio, se questo valore è 65, significa che metà degli elementi della serie di dati studiata è distribuita al di sotto di questo valore mentre l'altra metà si trova al di sopra.
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Individua i quartili partendo dal grafico. I quartili sono gli elementi che dividono la serie di dati in quattro sezioni. Il processo per individuare i quartili è molto simile a quello usato per individuare la mediana. L'unica differenza è nel modo con cui si individuano le coordinate sull'asse Y:
- Per individuare la coordinata Y del quartile inferiore, occorre moltiplicare la frequenza cumulata totale per ¼. La coordinata X del punto corrispondente sulla linea del grafico mostrerà graficamente la sezione composta dal primo quarto di elementi della serie presa in esame.
- Per individuare la coordinata Y del quartile superiore, occorre moltiplicare la frequenza cumulata totale per ¾. La coordinata X del punto corrispondente sulla linea del grafico suddividerà graficamente l'insieme dei dati nei ¾ inferiori e nel ¼ superiore.
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