Come Capire i Logaritmi

Conosci la differenza tra equazioni logaritmiche ed esponenziali. È un passaggio molto semplice. Se contiene un logaritmo (ad esempio: log_ax = y) è un problema logaritmico. Un logaritmo è rappresentato dalle lettere "log".Se l'equazione contiene un esponente (che è una variabile elevata a una potenza), allora è un'equazione esponenziale. Un esponente è un numero scritto all'apice dopo un altro numero.

• Logaritmica: log_ax = y
• Esponenziale: a^y = x

Impara le parti di un logaritmo. La base è il numero sottoscritto dopo le lettere "log" – 2 in questo esempio. L'argomento o il numero è il numero che segue il numero sottoscritto – 8 in questo esempio. Il risultato è il numero che l'espressione logaritmica pone uguale a – 3 in questa equazione.

Conosci la differenza tra un logaritmo comune e un logaritmo naturale.

• log comune: sono in base 10 (ad esempio, log₁₀x). Se un logaritmo è scritto senza la base (come log x), allora si assume che la base sia 10.
• log naturale: sono logaritmi in base e. e è una costante matematica che è uguale al limite di (1 + 1/n)ⁿ con n che tende a infinito, approssimativamente 2,718281828. (ha molte più cifre di quelle riportate qui) log_ex viene spesso scritto come ln x.
• Altri logaritmi: altri logaritmi hanno la base diversa da 10 ed e. Logaritmi binari sono in base 2 (per esempio, log₂x). Logaritmi esadecimali sono in base 16 (per esempio log₁₆x o log_#0fx in notazione esadecimale). Logaritmi in base 64^th sono molto complessi, e solitamente ristretti a calcoli di geometria molto avanzata.

Conosci e applica le proprietà dei logaritmi. Le proprietà dei logaritmi ti permettono di risolvere equazioni logaritmiche ed esponenziali altrimenti impossibili da risolvere. Funzionano solo se la base a e l'argomento sono positivi. Inoltre la base a non può essere 1 o 0. Le proprietà dei logaritmi sono elencate qui sotto con un esempio per ognuna di loro, con numeri al posto delle variabili. Queste proprietà sono utili per risolvere le equazioni.

• log_a(xy) = log_ax + log_ay
  Un logaritmo di due numeri, x e y, che vengono moltiplicati tra loro, può essere diviso in due log separati: un log di ognuno dei fattori aggiunti insieme (funziona anche all'inverso).
  
  Esempio:
  log₂16 =
  log₂8*2 =
  log₂8 + log₂2
• log_a(x/y) = log_ax - log_ay
  Un log di due numeri diviso per ognuno di loro, x e y, può essere diviso in due logaritmi: il log del dividendo x meno il log del divisore y.
  
  esempio:
  log₂(5/3) =
  log₂5 - log₂3
• log_a(x^r) = r*log_ax
  Se l'argomento x del log ha un esponente r, l'esponente può essere spostato davanti al logaritmo.
  
  Esempio:
  log₂(6⁵)
  5*log₂6
• log_a(1/x) = -log_ax
  Guarda l'argomento. (1/x) è uguale a x^-1. Questa è un'altra versione della precedente proprietà.
  
  Esempio:
  log₂(1/3) = -log₂3
• log_aa = 1
  Se la base a è uguale all'argomento a, il risultato è 1. Questo è molto facile da ricordare se si pensa al logaritmo in forma esponenziale. Quante volte si dovrebbe moltiplicare a per se stesso per avere a? Una sola volta.
  
  Esempio:
  log₂2 = 1
• log_a1 = 0
  Se l'argomento è 1, il risultato è sempre 0. Questa proprietà è vera perché qualunque numero con esponente 0 è uguale a 1.
  
  Esempio:
  log₃1 =0
• (log_bx/log_ba) = log_ax
  Questa è conosciuta come "cambio di base".^[1] Un logaritmo diviso per un altro, entrambi con la stessa base b, è uguale al singolo logaritmo. L'argomento a del denominatore diventa la nuova base, e l'argomento x del numeratore diventa il nuovo argomento. È facile da ricordare se pensi alla base come alla base di un oggetto e il denominatore come la base di una frazione.
  
  Esempio:
  log₂5 = (log 5/log 2)