Come Invertire una Funzione

Una parte fondamentale nell’apprendimento dell’algebra consiste nell’imparare come trovare l'inverso di una funzione f (x), che viene denotata con f -1 (x) e visivamente è rappresentata dalla funzione originale riflessa rispetto alla retta y = x. Questo articolo ti mostrerà come trovare l'inverso di una funzione.

Passaggi

  1. Immagine titolata Find the Inverse of a Function Step 1
    1
    Assicurati che la funzione sia “uno a uno”, cioè biunivoca. Solo queste funzioni hanno un inverso.
    • Una funzione è biunivoca se passa il test della linea verticale e di quella orizzontale. Traccia una linea verticale attraverso l'intero grafico della funzione e contare il numero di volte che la linea taglia la funzione. Poi traccia una linea orizzontale attraverso l'intero grafico della funzione e conta il numero di volte che questa retta seca la funzione. Se ogni linea taglia solo una volta la funzione, la funzione è biunivoca.
      • Se un grafico non passa il test della linea verticale, non si tratta nemmeno di una funzione.
    • Per determinare algebricamente se la funzione è biunivoca, ponendo f (a) = f(b), si deve trovare che a = b. Ad esempio, prendiamo f (x) = 3 x + 5.
      • f(a) = 3a + 5; f(b) = 3b + 5
      • 3a + 5 = 3b + 5
      • 3a = 3b
      • a = b
    • F (x) è così biunivoca.
  2. Immagine titolata Find the Inverse of a Function Step 2
    2
    Data una funzione, sostituisci le x con le y: ricordati che f (x) sta per "y".
    • In una funzione, "f" o "y" rappresenta l'output e "x" rappresenta l'input. Per trovare l'inversa di una funzione, si invertono gli ingressi e le uscite.
    • Esempio: prendiamo f (x) = (4x+3)/(2x+5), che è biunivoca. Commutando le x con le y, otteniamo x = (4y + 3) /(2y + 5).
  3. Immagine titolata Find the Inverse of a Function Step 3
    3
    Risolvi rispetto alla nuova "y". Sarà necessario modificare le espressioni per risolvere rispetto a y o per trovare le nuove operazioni che devono essere eseguite in ingresso per ottenere l'inverso come uscita.
    • Questo può essere difficile a seconda della tua espressione. Potrebbe essere necessario utilizzare trucchi algebrici come la moltiplicazione incrociata o la fattorizzazione per valutare l'espressione e semplificarla.
    • Nel nostro esempio, seguiremo i passaggi seguenti per isolare y:
      • Stiamo iniziando con x = (4y + 3) /(2y + 5)
      • x (2y + 5) = 4y + 3 – Moltiplica entrambi i lati per (2y + 5)
      • 2xy + 5x = 4y + 3 – Moltiplica per x
      • 2xy - 4y = 3-5 x — Metti tutti i termini y da una parte
      • y(2x - 4) = 3 - 5x – Raccogli la y
      • y = (x 3-5) / (2 x - 4) – Dividi per ottenere la tua risposta
  4. Immagine titolata Find the Inverse of a Function Step 4
    4
    Rimpiazza la nuova "y" con f -1 (x). Questa è l'equazione per l'inversa della funzione originale.
    • La nostra risposta finale è f -1 (x) = (3-5 x) / (2x - 4). Questa è la funzione inversa di f (x) = (4x+3)/(2x+5).
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Riferimenti

  1. Funzione biunivoca

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Categorie: Matematica
Sommario dell'ArticoloX

Per trovare l'inverso di una funzione, inizia scambiando x e y. Poi, risolvi semplicemente l'equazione per la nuova y. Per esempio, se hai la funzione f(x) = (4x+3)/(2x+5), prima devi scambiare la x e la y, ottenendo x = (4y+3)/(2y+5). Poi, risolvi per y, trovando (3-5x)/(2x-4), cioè l'inverso della funzione originale. Per imparare a determinare se una funzione è invertibile, continua a leggere!

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