Come Memorizzare la Circonferenza Unitaria

Co-redatto da Lo Staff di wikiHow

Imparare i concetti correlati alla circonferenza unitaria non solo è utile nelle materie come geometria e trigonometria, ma anche per affrontare gli argomenti di analisi matematica durante i corsi successivi. Potresti credere che serve parecchio tempo per ricordare a memoria le varie funzioni, ma una volta compreso il metodo di base, puoi calcolare tutti i dati partendo da pochi numeri.

Parte 1

Parte 1 di 2:

Memorizzare i Radianti

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Disegna due linee perpendicolari. Appoggia il righello su un foglio grande di carta e disegna un segmento verticale e uno orizzontale che si intersecano in prossimità del centro del foglio; queste linee rappresentano l'asse x e y del grafico cartesiano.
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Disegna una circonferenza. Usa un compasso per tracciare un grande cerchio il cui centro è il punto di intersezione delle due linee.
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Comprendi il concetto di radianti. Si tratta dell'unità di misura degli angoli. Nello specifico, corrisponde all'ampiezza dell'angolo spazzato da una persona che, camminando su una circonferenza di raggio pari a 1 unità, percorre un arco lungo quanto il raggio stesso. Nel passaggio successivo puoi trovare quattro punti definiti da coppie di coordinate con il valore in radianti. Se ricordi a memoria la formula che mette in relazione la circonferenza e il raggio, puoi calcolarli rapidamente anche senza memorizzarli.
- Le misure in radianti della circonferenza unitaria danno sempre per scontato che si parta dal punto con coordinate (0;1); per far sì che sia chiaro a quale punto ci si riferisce, si può descrivere la circonferenza come una rosa dei venti:
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Ricorda che l'intera circonferenza è pari a 2π. Infatti, la lunghezza della circonferenza si esprime come 2πr, dove r è il raggio; dato che quello della circonferenza unitaria è pari a 1, ne consegue che si può semplificare 2π. Puoi trovare il valore in radianti in qualsiasi punto del cerchio prendendo 2π e dividendolo per la frazione di circonferenza che stai considerando. Questo procedimento è molto più semplice rispetto a imparare a memoria tutti i valori in radianti corrispondenti ai vari punti della circonferenza.
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Etichetta i quattro punti sugli assi delle ascisse e delle ordinate. Tutto quello che ti serve è dividere 2π in quarti:
- "L'est" rappresenta il punto di partenza e l'angolo spazzato corrisponde a 0 radianti;
- "Il nord" equivale a 1/4 di circonferenza, quindi a ^2π/₄ = ^π/₂ radianti;
- "L'ovest" corrisponde a un semicerchio, di conseguenza a ^2π/₂ = π radianti;
- "Il sud" si trova a 3/4 di giro, quindi 2π * ¾ = ^3π/₂ radianti;
- Percorrendo l'intera circonferenza torni al punto di partenza che puoi etichettare sia con il valore 2π sia con 0.
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Dividi il cerchio in otto parti. Disegna una linea che divide a metà ciascun quadrante; anche in tal caso, puoi sfruttare questa divisione per trovare il valore dell'angolo in radianti:
- ^π/₄;
- ^3π/₄;
- ^5π/₄;
- ^7π/₄;
- π/2, π, 3π/2 e 2π sono già stati individuati.
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Dividi il cerchio in sei segmenti. Puoi disegnare altre linee che dividono la circonferenza in sei porzioni aiutandoti con un goniometro; basta iniziare dal quadrante dei valori positivi di "x" e misurare ogni volta un angolo di 60°. Puoi sfruttare sempre lo stesso metodo di calcolo descritto in precedenza per trovare il valore in radianti delle sei porzioni di cerchio: ^2π/₆ = ^π/₃ radianti. Etichetta i vari punti in questo modo (uno in ogni quadrante):
- ^π/₃;
- ^2π/₃;
- ^4π/₃;
- ^5π/₃;
- π e 2π sono già stati individuati.
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Suddividi il cerchio in dodici spicchi. Gli ultimi punti più utilizzati con la circonferenza unitaria sono quelli che corrispondono alle dodicesime parti del cerchio; a questo punto, ne mancano solo quattro da etichettare:
- ^π/₆;
- ^5π/₆;
- ^7π/₆;
- ^11π/₆.
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Parte 2

Parte 2 di 2:

Memorizzare il Seno e il Coseno

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Comprendi i concetti di seno e coseno. La circonferenza unitaria è particolarmente utile per risolvere i problemi legati al triangolo rettangolo sfruttando la trigonometria. Ciascuna coordinata "x" di un punto del cerchio corrisponde al cos(θ) mentre ogni coordinata "y" corrisponde al sin(θ), dove θ è l'angolo preso in considerazione.
- Se incontri delle difficoltà a ricordarlo, tieni in considerazione che il seno corrisponde al segmento opposto all'angolo considerato, mentre il coseno si riferisce al lato adiacente.
- Puoi arrivare alla medesima conclusione utilizzando i triangoli rettangoli e le definizioni delle funzioni.
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Scrivi le coordinate sui quattro punti del cerchio. Una circonferenza unitaria è un cerchio il cui raggio è pari esattamente a una unità. Utilizzala per trovare le coordinate x e y dei quattro punti formati dall'intersezione degli assi con la circonferenza stessa. Di seguito, si definiscono tali punti come est, nord e via dicendo per facilitare la lettura; tuttavia, ricorda che non sono i nomi ufficiali.
- "L'est" ha coordinate (1;0);
- "Il nord" corrisponde a (0;1);
- "L'ovest" giace sul punto con coordinate (-1;0);
- "Il sud" corrisponde a (0;-1).
- Questo concetto è identico a quello di qualsiasi grafico. Dovresti essere in grado di trovare tali coordinate da solo, senza bisogno di ricordarle a memoria.
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Memorizza le coordinate del primo quadrante. Corrisponde alla porzione in alto a destra del cerchio in cui i valori delle ascisse e delle ordinate sono entrambi positivi. Questi dati sono gli unici che devi ricordare a memoria:
- A ^π/₆, le coordinate sono ( ${\frac {\sqrt {3}}{2}};{\frac {1}{2}}$ ).
- A ^π/₄, trovi ( ${\frac {\sqrt {2}}{2}};{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ).
- A ^π/₃, il punto è definito da ( ${\frac {1}{2}};{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ).
- Nota che ci sono solo tre numeratori. Spostandoti in direzione positiva (da sinistra a destra lungo l'asse delle x e dal basso verso l'alto per quello delle y), i valori diventano: 1 → √2 → √3.
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Disegna delle linee rette per trovare le altre coordinate. Se puoi tracciare una linea perfettamente verticale o orizzontale fra i due punti, significa che questi hanno il medesimo valore assoluto di x e y. In altre parole, puoi tracciare un segmento che parte da un punto del primo quadrante e scrivere le stesse coordinate nel punto in cui arrivi lasciando dello spazio per aggiungere il segno + o -.
- Per esempio, puoi disegnare una linea orizzontale tra ^π/₃ e ^2π/₃. Dato che le coordinate del punto di partenza sono ( ${\frac {1}{2}};{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ), quelle del punto di arrivo sono (? ${\frac {1}{2}};?{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ), dove "?" corrisponde al segno + o -.
- Ecco una "scorciatoia": controlla il denominatore dell'angolo espresso in radianti. Tutti i punti che hanno come denominatore il numero 3 hanno le stesse coordinate (in valore assoluto), proprio come tutti i punti con denominatore pari a 4 e a 6.
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Sfrutta la simmetria per capire il segno. Ci sono diversi metodi per sapere come assegnare il segno negativo ai punti della circonferenza:
- Rifletti sulle regole elementari del grafico cartesiano. Tutto ciò che si trova sopra l'asse delle x è positivo, mentre il campo sottostante presenta valori negativi. Tutto ciò che è a sinistra dell'asse delle y è negativo, mentre alla sua destra ci sono i valori positivi.
- Inizia da primo quadrante e disegna delle linee verso gli altri punti. Se la retta interseca l'asse delle y, il valore di y cambia di segno; se interseca quello delle x, è la coordinata x a cambiare di segno.
- Memorizza la frase "Tutti gli Studenti Temono Cartesio" (acronimo TSTC) mentre ti sposti da un quadrante all'altro in senso antiorario. Il primo quadrante ha Tutte le funzioni positive, il secondo ha solamente la funzione Seno positiva, il terzo possiede la funzione Tangente positiva, mentre nel quarto quadrante l'unica funzione positiva è il Coseno.
- Qualsiasi metodo decidi di scegliere, i segni sono: (+;+) per il primo quadrante, (-;+) per il secondo, (-;-) per il terzo e (+;-) per il quarto.
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Controlla il lavoro. Qui di seguito trovi una lista completa di tutti i valori dei vari punti della circonferenza (esclusi i quattro che si intersecano con gli assi) disposti in senso orario. Ricorda che dovresti essere in grado di ricavarli memorizzando solo quelli relativi al primo quadrante:
- Primo quadrante: ( ${\frac {\sqrt {3}}{2}};{\frac {1}{2}}$ ); ( ${\frac {\sqrt {2}}{2}};{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ); ( ${\frac {1}{2}};{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ).
- Secondo quadrante: ( $-{\frac {1}{2}};{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ); ( $-{\frac {\sqrt {2}}{2}};{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ); ( $-{\frac {\sqrt {3}}{2}};{\frac {1}{2}}$ ).
- Terzo quadrante: ( $-{\frac {\sqrt {3}}{2}};-{\frac {1}{2}}$ ); ( $-{\frac {\sqrt {2}}{2}};-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ); ( $-{\frac {1}{2}};-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ).
- Quarto quadrante: ( ${\frac {1}{2}};-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ); ( ${\frac {\sqrt {2}}{2}};-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ); ( ${\frac {\sqrt {3}}{2}};-{\frac {1}{2}}$ ).
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Consigli

Il processo diventa considerevolmente più rapido con la pratica. Con il passare del tempo ti basterà osservare gli assi delle ordinate e delle ascisse o potresti anche non aver bisogno di alcun grafico.
Se devi affrontare un esame o un compito in classe che ha come argomento la circonferenza unitaria, traccia un grafico sul foglio di brutta a cui fare riferimento per ogni problema.