Come Ottenere una Matrice Trasposta

La matrice trasposta è uno strumento accurato e preciso per comprendere e studiare la struttura delle matrici. Alcune proprietà delle matrici che già potresti conoscere, come la simmetria e l'ortogonalità, influenzano anche il modo in cui si ricava la matrice trasposta. Quest'ultima è utile per diversi scopi, per esempio quando si ha la necessità di esprimere un vettore sotto forma di matrice oppure per effettuare il prodotto fra due vettori.^{[1]
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Fonte di ricerca} Se stai affrontando un problema relativo alle matrici complesse, il concetto di matrice trasposta coniugata ti sarà di grande aiuto nell'individuare la soluzione.

Parte 1

Parte 1 di 3:

Calcolare la Trasposta di una Matrice

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Inizia analizzando una matrice qualunque. È possibile trasporre qualunque matrice, indipendentemente dal numero di righe o colonne di cui è composta. Le matrici quadrate, caratterizzate dal fatto di avere lo stesso numero di righe e colonne, sono quelle che vengono trasposte con più frequenza, quindi come esempio partiremo da una matrice quadrata semplice:^{[2]
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Fonte di ricerca}
- La matrice A =
  1  2  3
  4  5  6
  7  8  9
2
La prima colonna della matrice trasposta sarà composta dalla prima riga della matrice A di esempio. Procedi quindi a riscrivere la prima riga della matrice originale come prima colonna della relativa trasposta:
- La matrice trasposta di A è indicata dalla seguente notazione: A^T;
- La prima colonna della matrice A^T sarà dunque uguale a :
  1
  2
  3.
3
Applica il meccanismo descritto nel passaggio precedente per tutte le altre righe rimanenti. Applicando lo stesso concetto otterremo che la seconda riga della matrice originale diventerà la seconda colonna della matrice trasposta. Continua seguendo il medesimo schema finché tutte le righe della matrice originale non saranno state trasformate in colonne:
- La matrice A^T =
  1  4  7
  2  5  8
  3  6  9
4
Calcola la trasposta di una matrice non quadrata. Il meccanismo da usare è il medesimo visto per le matrice quadrate, cioè la prima riga della matrice originale diventerà la prima colonna di quella trasposta, la seconda riga diventerà la seconda colonna e così via. Ecco un esempio a colori per comprendere meglio come vengono organizzati gli elementi della matrice originale e della relativa trasposta:
- La matrice Z =
  4 7 2 1
  3 9 8 6
- La matrice Z^T =
  4  3
  7  9
  2  8
  1  6
5
Descrivi matematicamente il concetto di trasposta. Si tratta di una nozione abbastanza semplice, ma è bene sapere come esprimerla matematicamente. Per utilizzare la notazione di base delle matrici non è necessario conoscere alcun gergo tecnico specifico:
- Se la matrice B è una matrice m x n (dove m indica il numero di righe e n il numero di colonne), la matrice B^T sarà una matrice n x m (dove n indica il numero di righe e m il numero di colonne).^{[3]
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  Fonte di ricerca}
- Per ogni elemento b_xy (dovex è il numero di riga e y il numero di colonna) della matrice B, la matrice B^T ne avrà uno uguale b_yx (dove y è il numero di riga e x il numero di colonna).
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Parte 2

Parte 2 di 3:

Casistiche Speciali

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(M^T)^T = M. Questa notazione indica semplicemente che la trasposta di una matrice trasposta dà come risultato la matrice originale.^{[4]
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Fonte di ricerca} Si tratta di un concetto alquanto intuitivo dato che l'unico processo da seguire consiste nel trasformare le righe in colonne. Se trasformiamo le righe di una matrice trasposta in colonne, è ovvio che otterremo esattamente la matrice da cui siamo partiti.
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Ruota una matrice quadrata di 180° rispetto alla diagonale principale. Quando si studia una matrice quadrata, la relativa trasposta sarà la matrice che si ottiene "ruotando" quella originale di 180° rispetto alla diagonale principale. In altre parole tutti gli elementi che compongono la diagonale principale, cioè quelli che vanno dalla posizione a₁₁ fino all'angolo inferiore destro rimarranno invariati, mentre tutti gli altri verranno invertiti con quelli che occupano la posizione opposta rispetto alla diagonale.
- Se non riesci a visualizzare nella tua mente il meccanismo appena descritto, inizia disegnando una matrice quadrata 4x4 su un foglio di carta. Adesso piega il foglio su se stesso seguendo la diagonale principale della matrice. Come vedi l'elemento a₁₄ si sovrappone all'elemento a₄₁. Nella matrice trasposta questi due elementi risulteranno invertiti così come tutti gli altri elementi che risultano sovrapposti.
3
Trasponi una matrice simmetrica. Una matrice si dice simmetrica quando gli elementi separati dalla diagonale principale risultano essere identici. In altre parole utilizzando l'esempio pratico del foglio piegato su stesso rispetto alla diagonale principale, nel caso di una matrice simmetrica ci accorgeremmo immediatamente che la matrice originale è esattamente identica alla trasposta. Tutti gli elementi che si sovrappongono e che dovrebbero essere invertiti di posizione risultano essere uguali.^{[5]
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Fonte di ricerca} Nella realtà questo è il metodo standard che viene usato per definire una matrice simmetrica. Se la matrice A è uguale alla matrice A^T, significa che la matrice di partenza è simmetrica.

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Parte 3

Parte 3 di 3:

Matrice Trasposta Coniugata di una Matrice Complessa

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Partiamo da una matrice complessa. Una matrice complessa è composta da numeri reali e immaginari. Anche se si può ottenere la matrice trasposta di una matrice complessa seguendo il procedimento descritto in precedenza, nella maggior parte dei casi reali occorrerà usare la matrice trasposta coniugata.^{[6]
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Fonte di ricerca}
- Matrice C =
  2+i 3-2i
  0+i 5+0i
2
Calcola la matrice complessa coniugata. In questo caso il segno degli elementi che ricadono nell'insieme dei numeri immaginari viene cambiato senza modificare la parte reale. Esegui questo passaggio per tutti gli elementi della matrice originale.
- La matrice complessa coniugata di C =
  2-i 3+2i
  0-i 5-0i
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Adesso calcola la matrice trasposta di quella ottenuta nel passaggio precedente. Segui il procedimento descritto nella sezione precedente dell'articolo per ottenere la matrice trasposta. La matrice che otterremo corrisponderà alla matrice trasposta coniugata di quella originale.
- La matrice trasposta coniugata di C = C^H =
  2-i 0-i
  3+2i 5-0i
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Consigli

In questo articolo viene utilizzata la notazione A^T per indicare la matrice trasposta della matrice originale A. In alternativa è possibile usare anche le seguenti notazioni per indicare il medesimo concetto: A' o Ã.^{[7]
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Fonte di ricerca}
In questo articolo la matrice trasposta coniugata della matrice A viene indicata con la notazione A^H che è anche la più usata in algebra lineare. I fisici quantistici spesso preferiscono utilizzare la seguente notazione: A^†. In alternativa è possibile usare anche la seguente: A*, tuttavia è meglio evitare di utilizzare questa simbologia dato che alcune fonti la usano per indicare la matrice complessa coniugata.^{[8]
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Fonte di ricerca}