Come Razionalizzare il Denominatore

Co-redatto da Lo Staff di wikiHow

Un numero radicale o irrazionale non viene in genere lasciato al denominatore di una frazione. Quando ti trovi di fronte a una frazione con un radicale al denominatore, devi moltiplicarla per un termine o una serie di termini, in modo da rimuovere l'espressione radicale. Sebbene l'utilizzo delle calcolatrici renda il procedimento di razionalizzazione un po' datato, questa abilità viene ancora richiesta nei testi d'esame.

Parte 1

Parte 1 di 4:

Razionalizzare un Denominatore Monomiale

1
Esamina la frazione. Puoi affermare che è scritta correttamente quando non ci sono numera radicali al denominatore. Se quest'ultimo contiene una radice quadrata o un altro valore analogo, devi moltiplicare sia il numeratore sia il denominatore per un numero che ti permetta di "far scomparire" la radice. Ricorda che il numeratore può contenere un numero radicale, non devi quindi preoccupartene.
- ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}$ .
- Puoi notare che al denominatore compare ${\sqrt {7}}$ .
2
Moltiplica numeratore e denominatore per il radicale che si trova al denominatore. La frazione con un monomio al denominatore è la più semplice da razionalizzare. Sia il numero superiore (numeratore) sia quello inferiore (denominatore) devono essere moltiplicati per lo stesso termine, perché equivale a moltiplicare tutta la frazione per 1.
- ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}$ .
3
Procedi alla semplificazione se necessario. La frazione è stata razionalizzata.
- ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {7{\sqrt {21}}}{14}}={\frac {\sqrt {21}}{2}}$ .
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Parte 2

Parte 2 di 4:

Razionalizzare un Denominatore Binomiale

1
Esamina la frazione. Se il denominatore contiene la somma di due termini, di cui almeno uno è irrazionale, non puoi moltiplicare la frazione per questo numero, né al numeratore né al denominatore,
- ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}$ .
- Per dimostrare il motivo, scrivi una frazione generica ${\frac {1}{a+b}},$ in cui $a$ e $b$ sono numeri irrazionali. Di conseguenza, l'espressione $(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}$ contiene il termine crociato $2ab.$ Se almeno uno di $a$ e $b$ è irrazionale, il termine crociato contiene un numero radicale.
- Applica questo concetto all'esempio.
  - ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {2}}}{2+{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2+{\sqrt {2}})}{4+4{\sqrt {2}}+2}}$ .
- Come si può notare, non c'è modo di sbarazzarsi di $4{\sqrt {2}}$ al denominatore eseguendo questo calcolo.
2
Moltiplica la frazione per il coniugato del denominatore. Il coniugato di un'espressione è l'espressione stessa, ma con la parte irrazionale di segno opposto. Ad esempio, il coniugato di $2+{\sqrt {2}}$ $2+{\sqrt {2}}$ è $2-{\sqrt {2}}.$ $2-{\sqrt {2}}.$
- ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}$ .
- Perché è possibile eliminare il radicale grazie al coniugato? Se consideri la frazione generica ${\frac {1}{a+b}},$ moltiplicando il numeratore e il denominatore per il coniugato di quest'ultimo ottieni che il denominatore è $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.$ La chiave di questo metodo consiste nel fatto che non si genera un termine crociato; dato che entrambi i valori vengono elevati al quadrato, le radici quadrate scompaiono.
3
Semplifica la frazione, se necessario.
- ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2-{\sqrt {2}})}{4-2}}=4-2{\sqrt {2}}$ .
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Parte 3

Parte 3 di 4:

Lavorare con i Reciproci

1
Esamina il problema. Se devi scrivere il reciproco di una serie di termini che contiene un radicale, devi razionalizzare prima di semplificare. Usa il metodo del denominatore monomiale o binomiale, in base al caso che devi affrontare.
- $2-{\sqrt {3}}$ .
2
Scrivi il reciproco come faresti di solito. Il valore reciproco di una frazione è la frazione stessa con denominatore e numeratore invertiti. L'espressione $2-{\sqrt {3}}$ $2-{\sqrt {3}}$ è una frazione, l'unica differenza è che il suo denominatore è pari a 1.
- ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}$ .
3
Moltiplica l'espressione per un termine che ti permetta di eliminare il radicale al denominatore. Ricorda che in realtà devi procedere a una moltiplicazione per il numero 1, devi quindi moltiplicare il numeratore e il denominatore per lo stesso fattore. L'esempio che è stato proposto nel passaggio precedente contiene un denominatore binomiale, devi pertanto moltiplicare il numeratore e il denominatore per il coniugato di quest'ultimo.
- ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}$ .
4
Semplifica la frazione, se necessario.
- ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4-3}}=2+{\sqrt {3}}$ .
- Non farti confondere dal fatto che il reciproco è anche il coniugato, si tratta solo di una coincidenza.
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Parte 4

Parte 4 di 4:

Razionalizzare il Denominatore con una Radice Cubica

1
Osserva la frazione. Sebbene sia piuttosto raro, può capitare di avere una frazione con una radice cubica al denominatore. Questo metodo è valido anche per tutte le radici di qualunque indice.
- ${\frac {3}{\sqrt[{3}]{3}}}$ .
2
Riscrivi il denominatore come una potenza. Trovare un'espressione che possa razionalizzare il denominatore è un po' diverso, perché non puoi limitarti a moltiplicarlo semplicemente per il radicale.
- ${\frac {3}{3^{1/3}}}$ .
3
Moltiplica il numeratore e il denominatore per un'espressione che renda l'esponente del denominatore pari a 1. In questo caso, stai lavorando con una radice cubica, puoi quindi moltiplicarla per ${\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}.$ ${\frac {3^{{2/3}}}{3^{{2/3}}}}.$ Ricorda che la presenza di esponenti trasforma una moltiplicazione in una somma per la proprietà delle potenze: $a^{b}a^{c}=a^{b+c}.$ $a^{{b}}a^{{c}}=a^{{b+c}}.$
- ${\frac {3}{3^{1/3}}}\cdot {\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}$ .
- Questo metodo può essere generalizzato per ogni radice ennesima al denominatore. Se avessi ${\frac {1}{a^{1/n}}},$ potresti moltiplicare il numeratore e il denominatore per $a^{1-{\frac {1}{n}}}.$ Così facendo, l'esponente al denominatore diventerebbe unitario.
4
Semplifica la frazione, se necessario.
- ${\frac {3}{3^{1/3}}}\cdot {\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}=3^{2/3}$ .
- Se devi esprimere la frazione in forma radicale, puoi isolare $1/3.$ $1/3.$
  - $3^{2/3}=(3^{2})^{1/3}={\sqrt[{3}]{9}}$ .
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