Come Risolvere dei Sistemi di Equazioni

Scrivi un’equazione sopra l'altra. Risolvere un sistema di equazioni per addizione è ideale quando le due equazioni hanno una variabile con lo stesso coefficiente e di segno opposto. Per esempio, se un'equazione ha la variabile 3x e l'altra ha la variabile -3x, allora il metodo dell’addizione è ideale.

• Scrivi le equazioni una sopra l'altra, allineando le variabili x e y e i numeri interi. Scrivi il segno dell’addizione fuori della parentesi della seconda equazione.
• Es: Se le due equazioni sono 3x + 6y = 8 e x - 6y = 4, dovresti scrivere la prima equazione sopra la seconda, con il segno dell’addizione davanti alla seconda equazione, mostrando che vuoi sommare ogni termine di quell’equazione.
  • 3x + 6y = 8
  • +(x - 6y = 4)

Somma i termini simili. Ora che hai allineato le due equazioni, non ti resta che sommare tra loro i termini simili. Puoi farlo prendendo un termine alla volta:

• 3x + x = 4x
• 6y + -6y = 0
• 8 + 4 = 12
• Quando combini il tutto, otterrai:
  • 3x + 6y = 8
  • +(x - 6y = 4)
  • = 4x + 0 = 12

Risolvi per il termine che rimane. Una volta che avrai eliminata una delle variabili sottraendo le variabili con lo stesso coefficiente, potrai risolvere per la variabile che rimane. Puoi togliere lo 0 dall’equazione, dato che non ne cambierà il valore.

• 4x + 0 = 12
• 4x = 12
• Dividi 4x e 12 per 3 a dare x = 3

Inserisci il termine nell’equazione per trovare il valore del primo termine. Ora che sai che x = 3, dovrai sostituirlo in una delle equazioni iniziali per risolvere per la y. Non importa quale equazione scegli, il risultato sarà lo stesso. Se una delle equazioni sembra più difficile, scegli l’equazione più semplice.

• Sostituisci x = 3 nell’equazione x - 6y = 4 e risolvi per la y.
• 3 - 6y = 4
• -6y = 1
• Dividi -6y e 1 per -6 a dare y = -1/6
  • Hai risolto il sistema di equazioni per addizione. (x, y) = (3, -1/6)

Verifica il risultato. Per essere sicuro di avere risolto il sistema correttamente, sostituisci i due risultati in tutte e due le equazioni e verifica che siano validi per tutte e due le equazioni. Ecco come fare:

• Sostituisci (3, -1/6) per (x, y) nell’equazione 3x + 6y = 8.
  • 3(3) + 6(-1/6) = 8
  • 9 - 1 = 8
  • 8 = 8
• Sostituisci (3, -1/6) per (x, y) nell’equazione x - 6y = 4.
  • 3 - (6 * -1/6) =4
  • 3 - - 1 = 4
  • 3 + 1 = 4
  • 4 = 4

Scrivi le equazioni una sopra l'altra. Scrivi le equazioni una sopra l'altra, allineando le variabili x e y e i numeri interi. Quando si utilizza il metodo della moltiplicazione, le variabili non avranno ancora gli stessi coefficienti.

• 3x + 2y = 10
• 2x - y = 2

Moltiplica una o entrambe le equazioni finché una delle variabili di entrambi i termini abbia lo stesso coefficiente. Ora, moltiplica una o entrambe le equazioni per un numero in modo che una delle variabili abbia lo stesso coefficiente. In questo caso, puoi moltiplicare l'intera seconda equazione per 2, così che la variabile -y diventi -2y e abbia lo stesso coefficiente della prima y. Ecco come fare:

• 2 (2x - y = 2)
• 4x - 2y = 4

Somma o sottrai le equazioni. Ora, usa il metodo dell’addizione o della sottrazione in modo da eliminare le variabili che hanno lo stesso coefficiente. Poiché stai lavorando con 2y e -2y, sarebbe meglio usare il metodo dell’addizione, dato che 2y + -2y è uguale a 0. Se invece tu stessi lavorando con 2y e 2y, allora dovresti usare il metodo della sottrazione. Ecco come usare il metodo dell’addizione per eliminare una delle variabili:

• 3x + 2y = 10
• + 4x - 2y = 4
• 7x + 0 = 14
• 7x = 14

Risolvi per il termine che rimane. Risolvi per trovare il valore del termine che non hai eliminato. Se 7x = 14, allora x = 2.

Inserisci il termine nell’equazione per trovare il valore del primo termine. Inserisci il termine in una equazione originale per risolvere per l'altro termine. Scegli l’equazione più semplice per risolvere più rapidamente.

• x = 2 ---> 2x - y = 2
• 4 - y = 2
• -y = -2
• y = 2
  • Hai risolto il sistema di equazioni con la moltiplicazione. (x, y) = (2, 2)

Verifica il risultato. Per verificare il risultato, inserisci i due valori nelle equazioni originali per assicurarti di avere i giusti valori.

• Sostituisci (2, 2) per (x, y) nell’equazione 3x + 2y = 10.
• 3(2) + 2(2) = 10
• 6 + 4 = 10
• 10 = 10
• Sostituisci (2, 2) per (x, y) nell’equazione 2x - y = 2.
• 2(2) - 2 = 2
• 4 - 2 = 2
• 2 = 2

Isola una variabile. Il metodo della sostituzione è ideale nel caso in cui uno dei coefficienti di una delle equazioni sia uguale a uno. Quello che devi fare è isolare la variabile con il singolo coefficiente su un lato dell’equazione e trovarne il valore.

• Se stai lavorando con le equazioni 2x + 3y = 9 e x + 4y = 2, sarebbe bene isolare la x nella seconda equazione.
• x + 4y = 2
• x = 2 - 4y

Sostituisci il valore della variabile che hai isolata nell'altra equazione. Prendi il valore trovato dopo aver isolato la variabile e sostituiscilo al posto della variabile nell’equazione che non hai modificato. Non riuscirai a risolvere nulla se fai la sostituzione nella stessa equazione che hai appena modificato. Ecco cosa fare:

• x = 2 - 4y --> 2x + 3y = 9
• 2(2 - 4y) + 3y = 9
• 4 - 8y + 3y = 9
• 4 - 5y = 9
• -5y = 9 - 4
• -5y = 5
• -y = 1
• y = - 1

Risolvi per la variabile che rimane. Ora che sai che y = - 1, sostituiscine il valore nell’equazione più facile per trovare la x. Ecco come fare:

• y = -1 --> x = 2 - 4y
• x = 2 - 4(-1)
• x = 2 - -4
• x = 2 + 4
• x = 6
  • Hai risolto il sistema di equazioni con la sostituzione. (x, y) = (6, -1)