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I logaritmi possono essere intimidatori, ma risolvere un logaritmo è molto più semplice una volta che si realizza che i logaritmi sono solo un modo differente per scrivere le equazioni esponenziali. Una volta che i logaritmi vengono riscritti in una forma più famigliare, dovresti essere in grado di risolverli come un’equazione esponenziale standard.
Passaggi
Imparare a Esprimere le Equazioni Logaritmiche Exponentially[1] [2]
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1Impara la Definizione di Logaritmo. Prima di poter risolvere i logaritmi, devi capire che un logaritmo è essenzialmente un modo diverso per scrivere le equazioni esponenziali. La sua definizione precise è la seguente:
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y = logb (x)
- Se e solo se: by = x
- Nota che b è la base del logaritmo. Deve anche essere vero che:
- b > 0
- b non è uguale ad 1
- Nella stessa equazione, y è l’esponente ed x è l’espressione esponenziale a cui il logaritmo viene eguagliato.
-
y = logb (x)
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2Analizza l’equazione. Quando ti trovi di fronte ad un problema logaritmico, identifica la base (b), l’esponente (y), e l’espressione esponenziale (x).
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Esempio: 5 = log4(1024)
- b = 4
- y = 5
- x = 1024
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Esempio: 5 = log4(1024)
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3Sposta l’espressione esponenziale da una parte dell’equazione. Poni il valore della tua espressione esponenziale, x, da una parte del segno uguale.
- Esempio: 1024 = ?
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4Applica l’esponente alla base. Il valore della tua base, b, deve essere moltiplicato per se stesso il numero di volte indicato dall’esponente, y.
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Esempio: 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?
- Questo potrebbe anche essere scritto come: 45
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Esempio: 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?
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5Riscrivi la tua risposta finale. Ora dovresti essere in grado di riscrivere il tuo logaritmo come espressione esponenziale. Verifica che la tua espressione sia corretta assicurandoti che i membri ai due lati dell’uguale siano equivalenti.
- Esempio: 45 = 1024
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Metodo 1
Metodo 1 di 3:
Metodo 1: Risolvere per X
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1Isola il logaritmo. Usa l’operazione di inverso per portare tutte le parti che non sono logarimiche all’altro membro dell’equazione.
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Esempio: log3(x + 5) + 6 = 10
- log3(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
- log3(x + 5) = 4
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Esempio: log3(x + 5) + 6 = 10
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2Riscrivi l’equazione nella forma esponenziale. Usando ciò che sai sulla relazione fra le equazioni logaritmiche e le esponenziali, scomponi il logaritmo e riscrivi l’equazione in forma esponenziale, più semplice da risolvere.
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Esempio:log3(x + 5) = 4
- Confrontando questa equazione con la definizione [y = logb (x)], puoi concludere che: y = 4; b = 3; x = x + 5
- Riscrivi l’equazione in modo che: by = x
- 34 = x + 5
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Esempio:log3(x + 5) = 4
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3Risolvi per x. Con il problema semplificato ad un’esponenziale, dovresti essere in grado di risolverla come risolveresti un’esponenziale.
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Esempio: 34 = x + 5
- 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
- 81 = x + 5
- 81 - 5 = x + 5 - 5
- 76 = x
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Esempio: 34 = x + 5
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4Scrivi la tua risposta finale. La soluzione che trovi risolvendo per x è la soluzione del tuo logaritmo originario.
- Esempio: x = 76
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1Impara la regola del prodotto. La prima proprietà dei logaritmi, detta "regola del prodotto," dice che il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi dei vari fattori. Scrivendola tramite un’equazione:
- logb(m * n) = logb(m) + logb(n)
- Nota anche che le seguenti condizioni devono essere rispettate:
- m > 0
- n > 0
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2Isola il logaritmo da una parte dell’equazione. Usa le operazioni degli inverai per portare tutte le parti contenenti dei logaritmi da un lato dell’equazione e tutto il resto dall’altra.
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Esempio: log4(x + 6) = 2 - log4(x)
- log4(x + 6) + log4(x) = 2 - log4(x) + log4(x)
- log4(x + 6) + log4(x) = 2
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Esempio: log4(x + 6) = 2 - log4(x)
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3Applica la regola del prodotto. Se ci sono due logaritmi che sono sommati insieme all’interno dell’equazione, puoi usare le regole del logaritmo per combinarli insieme e trasformarli in uno solo. Nota che questa regola si può applicare solamente se i due logaritmi possiedono la stessa base
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Esempio: log4(x + 6) + log4(x) = 2
- log4[(x + 6) * x] = 2
- log4(x2 + 6x) = 2
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Esempio: log4(x + 6) + log4(x) = 2
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4Riscrivi l’equazione in forma esponenziale. Ricorda che il logaritmo è solo un altro modo per scrivere l’esponenziale. Riscrivi l’equazione in una forma risolvibile
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Esempio: log4(x2 + 6x) = 2
- Confronta questa equazione con la definizione [y = logb (x)], poi concludere che: y = 2; b = 4 ; x = x2 + 6x
- Riscrivi l’equazione in modo che: by = x
- 42 = x2 + 6x
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Esempio: log4(x2 + 6x) = 2
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5Risolvi per x. Ora che l’equazione è diventata un’esponenziale standard, usa le tue conoscenze sulle equazioni esponenziali per risolvere per x come faresti normalmente.
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Esempio: 42 = x2 + 6x
- 4 * 4 = x2 + 6x
- 16 = x2 + 6x
- 16 - 16 = x2 + 6x - 16
- 0 = x2 + 6x - 16
- 0 = (x - 2) * (x + 8)
- x = 2; x = -8
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Esempio: 42 = x2 + 6x
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6Scrivi la tua risposta. A questo punto dovresti conoscere la soluzione dell’equazione, che corrisponde a quella dell’equazione di partenza.
- Esempio: x = 2
- Nota che non puoi avere una soluzione negative per I logaritmi, quindi scarti la soluzione x = - 8.
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Metodo 3
Metodo 3 di 3:
Metodo 3: Risolvi per X Usando il Quoziente Logaritmico Regola[5]
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1Impara la regola del quoziente. In base alla seconda proprietà dei logaritmi, detta "regola del quoziente," il logaritmo di un quoziente può essere riscritto come differenza fra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore. Scrivendolo come equazione:
- logb(m / n) = logb(m) - logb(n)
- Nota anche che devono sussistere le seguenti condizioni:
- m > 0
- n > 0
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2Isola il logaritmo da una parte dell’equazione. Prima di poter risolvere il logaritmo, devi spostare tutti I logaritmi da una parte dell’equazione. Tutto il resto dovrebbe essere spostato all’altro membro. Usa le operazioni degli inversi per raggiungere tale scopo.
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Esempio: log3(x + 6) = 2 + log3(x - 2)
- log3(x + 6) - log3(x - 2) = 2 + log3(x - 2) - log3(x - 2)
- log3(x + 6) - log3(x - 2) = 2
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Esempio: log3(x + 6) = 2 + log3(x - 2)
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3Applica la regola del quoziente. Se è presente all’interno dell’equazione una differenza fra due logaritmi aventi la stessa base, devi usare la regola dei quozienti per riscrivere i logaritmi come uno solo.
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Esempio: log3(x + 6) - log3(x - 2) = 2
- log3[(x + 6) / (x - 2)] = 2
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Esempio: log3(x + 6) - log3(x - 2) = 2
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4Riscrivi l’equazione in forma esponenziale. Ricorda che il logaritmo è solo un altro modo per scrivere l’esponenziale. Riscrivi l’equazione in una forma risolvibile.
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Esempio: log3[(x + 6) / (x - 2)] = 2
- Confrontando questa equazione alla definizione [y = logb (x)], puoi concludere che: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
- Riscrivi l’equazione in modo che: by = x
- 32 = (x + 6) / (x - 2)
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Esempio: log3[(x + 6) / (x - 2)] = 2
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5Risolvi per x. Con l’equazione che ora è in forma esponenziale, dovresti essere in grado di risolvere per x come faresti normalmente.
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Esempio: 32 = (x + 6) / (x - 2)
- 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
- 9 = (x + 6) / (x - 2)
- 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
- 9x - 18 = x + 6
- 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
- 8x = 24
- 8x / 8 = 24 / 8
- x = 3
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Esempio: 32 = (x + 6) / (x - 2)
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6Scrivi la tua soluzione finale. Torna indietro e ricontrolla i tuoi passaggi. Una volta che sei certo di possedere la soluzione corretta, scrivila.
- Esempio: x = 3
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Riferimenti
- ↑ http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut43_logfun.htm#logdef
- ↑ http://www.mathsisfun.com/algebra/logarithms.html
- ↑ http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut46_logeq.htm
- ↑ http://dl.uncw.edu/digilib/mathematics/algebra/mat111hb/eandl/equations/equations.html
- ↑ http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut44_logprop.htm
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