Come Scomporre in Fattori le Equazioni Algebriche

Co-redatto da David Jia

In matematica, per fattorizzazione si intende trovare i numeri o le espressioni che moltiplicandosi fra loro danno un certo numero o equazione. Scomporre in fattori è un'abilità utile da apprendere per risolvere i problemi algebrici; quando poi si ha a che fare con equazioni di secondo grado o altri tipi di polinomi, la capacità di scomporre in fattori diventa quasi essenziale. La fattorizzazione si può usare per semplificare le espressioni algebriche e facilitare i calcoli. Inoltre permette di eliminare alcuni risultati più velocemente rispetto alla risoluzione classica.

Metodo 1

Metodo 1 di 3:

Scomporre in Fattori Numeri ed Espressioni Algebriche Semplici

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Comprendi la definizione di fattorizzazione applicata a numeri singoli. La fattorizzazione è teoricamente semplice, ma in pratica si può rivelare impegnativa, se applicata alle equazioni complesse. Per questo è più facile avvicinarsi alla fattorizzazione iniziando da numeri semplici per poi passare alle equazioni semplici e poi ad applicazioni più complesse. I fattori di un certo numero sono i numeri che moltiplicati fra loro hanno come prodotto quel numero. Per esempio, i fattori di 12 sono 1, 12, 2, 6, 3 e 4, perché 1 × 12, 2 × 6, e 3 × 4 fanno tutti 12.
- Un altro modo di pensarla è che i fattori di un dato numero sono i numeri che dividono esattamente quel numero.
- Riesci a individuare tutti i fattori del numero 60? Il numero 60 è utilizzato per molti scopi (i minuti in un'ora, i secondi in un minuto, ecc.) perché è divisibile esattamente per molti numeri.
  - I fattori di 60 sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.
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Tieni presente che anche le espressioni che contengono incognite possono essere divise in fattori. Proprio come i singoli numeri, anche le incognite con coefficienti numerici (monomi) possono essere fattorizzate. Per farlo, basterà trovare i fattori del coefficiente. Sapere come scomporre in fattori i monomi è utile per semplificare le equazioni algebriche di cui le incognite fanno parte.
- Per esempio, l'incognita 12x si può scrivere come un prodotto tra i fattori 12 e x. Possiamo scrivere 12x come 3(4x), 2(6x), eccetera, sfruttando i fattori di 12 che ci fanno più comodo.
  - Possiamo anche spingerci oltre e scomporre 12x più volte. In altre parole, non dobbiamo fermarci a 3(4x) o 2(6x), ma possiamo scomporre ulteriormente 4x e 6x per ottenere 3(2(2x) e 2(3(2x), rispettivamente. Naturalmente, queste due espressioni sono equivalenti.
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Applica la proprietà distributiva per scomporre in fattori le equazioni algebriche. Sfruttando la tua conoscenza della scomposizione sia di numeri singoli che di incognite con coefficiente, puoi semplificare delle equazioni algebriche di base individuando fattori comuni sia ai numeri che alle incognite. Di solito, per semplificare le equazioni il più possibile, si cerca di individuare il Massimo Comune Divisore. Questo processo di semplificazione è possibile proprio grazie alla proprietà distributiva della moltiplicazione, che dice che prendendo dei numeri qualsiasi a, b, c, a(b + c) = ab + ac.
- Proviamo con un esempio. Per scomporre l'equazione algebrica 12 x + 6, prima di tutto troviamo il Massimo Comune Divisore di 12x e 6. 6 è il numero più grande che divide perfettamente sia 12x che 6, quindi possiamo semplificare l'equazione in 6(2x + 1).
- Questo procedimento si può applicare anche a equazioni che contengono numeri negativi e frazioni. x/2 + 4, per esempio, si può semplificare in 1/2(x + 8), e -7x + -21 si può scomporre come -7(x + 3).
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Metodo 2

Metodo 2 di 3:

Scomporre in Fattori Equazioni di Secondo Grado (o Quadratiche)

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Accertati che l'equazione sia di secondo grado (ax² + bx + c = 0). Le equazioni di secondo grado (anche chiamate quadratiche) sono nella forma ax² + bx + c = 0, dove a, b, e c sono costanti numeriche e a è diverso da 0 (però può essere 1 o -1). Se ti trovi con un'equazione che contiene l'incognita (x) e presenta uno o più termini con la x al secondo membro, puoi spostarli tutti allo stesso membro con operazioni algebriche di base per ottenere 0 da una parte del segno di uguale e ax², ecc. dall'altra.
- Per esempio, prendiamo la seguente equazione algebrica. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 può essere semplificata in x² + 6x + 9 = 0, che è di secondo grado.
- Le equazioni con potenze maggiori di x, come x³, x⁴, ecc. non sono equazioni di secondo grado. Si tratta di equazioni di terzo, quarto grado e così via, a meno che l'equazione non possa essere semplificata eliminando i termini con la x elevata ad un numero maggiore di 2.
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Nelle equazioni quadratiche dove a = 1, scomponi in (x+d )(x+e), dove d × e = c e d + e = b. Se l'equazione è nella forma x² + bx + c = 0 (ovvero, se il coefficiente della x² = 1), è possibile (ma non certo) che si possa usare un metodo più rapido per scomporre l'equazione. Trova due numeri che moltiplicati fra loro diano c e sommati diano b. Una volta individuati questi numeri d ed e, sostituiscili nella seguente formula: (x+d)(x+e). I due termini, se moltiplicati, danno come risultato l'equazione originale; in altre parole, sono i fattori dell'equazione quadratica.
- Prendiamo per esempio l'equazione di secondo grado x² + 5x + 6 = 0. 3 e 2 moltiplicati fra loro danno 6, mentre sommati danno 5, quindi possiamo semplificare l'equazione in (x + 3)(x + 2).
- Esistono lievi varianti di questa formuletta, in base ad alcun e differenze nell'equazione stessa:
  - Se l'equazione quadratica è nella forma x²-bx+c, il risultato sarà così: (x - _)(x - _).
  - Se è nella forma x²+bx+c, il risultato sarà così: (x + _)(x + _).
  - Se è nella forma x²-bx-c, il risultato sarà così: (x + _)(x - _).
- Nota: i numeri negli spazi possono essere anche frazioni o decimali. Per esempio, l'equazione x² + (21/2)x + 5 = 0 si scompone in (x + 10)(x + 1/2).
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Se possibile, scomponi per tentativi. Che tu ci creda o meno, per le equazioni di secondo grado semplici, uno dei metodi di scomposizione accettati consiste semplicemente nell'esaminare l'equazione e poi prendere in considerazione le soluzioni possibili fino a trovare quella giusta. Per questo si chiama scomposizione per tentativi. Se l'equazione è nella forma ax²+bx+c e a>1, il risultato sarà scritto (dx +/- _)(ex +/- _), dove d ed e sono costanti numeriche diverse da zero che moltiplicandosi danno a. Sia d che e (o entrambi) possono essere il numero 1, anche se non necessariamente. Se entrambi sono 1, in pratica hai appena utilizzato il metodo rapido descritto prima.
- Procediamo con un esempio. 3x² - 8x + 4 a prima vista può incutere timore, ma basta pensare che 3 ha solo due fattori (3 e 1) e sembrerà subito più semplice, dato che sappiamo che il risultato sarà scritto nella forma (3x +/- _)(x +/- _). In questo caso, mettendo un -2 in entrambi gli spazi otterremo la risposta giusta. -2 × 3x = -6x e -2 × x = -2x. -6x e -2x sommato a -8x. -2 × -2 = 4, così possiamo vedere che i termini scomposti in fattori fra parentesi si moltiplicano dando l'equazione originale.
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Risolvi eseguendo il quadrato. In alcuni casi, le equazioni quadratiche si possono scomporre facilmente in fattori usando una speciale identità algebrica. Tutte le equazioni di secondo grado scritte nella forma x² + 2xh + h² = (x + h)². Perciò, se nella tua equazione il valore di b è due volte la radice quadrata di c, l'equazione si può fattorizzare in (x + (sqrt(c)))².
- Per esempio, l'equazione x² + 6x + 9 si presta a scopo dimostrativo, perché scritta nella forma giusta. 3² fa 9 e 3 × 2 fa 6. Sappiamo quindi che l'equazione scomposta in fattori sarà scritta così: (x + 3)(x + 3), or (x + 3)².
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Usa i fattori per risolvere le equazione di secondo grado. A prescindere da come scomponi l'espressione quadratica, una volta scomposta puoi trovare i valori possibili di x ponendo ogni fattore uguale a 0 e risolvendo. Dato che devi individuare per quali valori di x il risultato è zero, la soluzione sarà che uno dei fattori dell'equazione sia uguale a zero.
- Torniamo all'equazione x² + 5x + 6 = 0. Questa equazione si scompone in (x + 3)(x + 2) = 0. Se uno dei fattori equivale a 0, anche l'intera equazione sarà uguale a 0, per cui le soluzioni possibili per x sono i numeri che rendono (x + 3) e (x + 2) uguali a 0. Questi numeri sono rispettivamente -3 e -2.
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Fai la verifica delle soluzioni, perché alcune potrebbero essere non accettabili! Quando hai individuato i valori possibili di x, sostituiscili uno alla volta nell'equazione di partenza per vedere se sono validi. A volte i valori trovati, quando sostituiti nell'equazione originale, non danno come risultato zero. Queste soluzioni vengono chiamate "non accettabili" e si devono scartare.
- Sostituiamo -2 e -3 nell'equazione x² + 5x + 6 = 0. Prima -2:
  - (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. È corretto, quindi -2 è una soluzione accettabile.
- Adesso proviamo -3:
  - (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Anche questo risultato è corretto, perciò anche-3 è una soluzione accettabile.
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Metodo 3

Metodo 3 di 3:

Scomporre in Fattori Altri Tipi di Equazioni

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Se l'equazione è scritta nella forma a²-b², scomponila in (a+b)(a-b). Le equazioni con due variabili si scompongono in modo diverso dalle equazioni di secondo grado normali. Per ogni equazione a²-b² con a e b diversi da 0, l'equazione si scompone in (a+b)(a-b).
- Per esempio, prendiamo l'equazione 9x² - 4y² = (3x + 2y)(3x - 2y).
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Se l'equazione è scritta nella forma a²+2ab+b², scomponila in (a+b)². Nota che, se il trinomio è scritto a²-2ab+b², la forma scomposta in fattori è leggermente diversa: (a-b)².
- L'equazione 4x² + 8xy + 4y² si può riscrivere come 4x² + (2 × 2 × 2)xy + 4y². Adesso vediamo che è nella forma corretta, perciò possiamo dire con certezza che si può scomporre in (2x + 2y)²
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Se l'equazione è scritta nella forma a³-b³, scomponila in (a-b)(a²+ab+b²). Infine, va detto che ance le equazioni di terzo grado e oltre possono essere scomposte in fattori, anche se il procedimento è significativamente più complesso.
- Per esempio, 8x³ - 27y³ si scompone in (2x - 3y)(4x² + ((2x)(3y)) + 9y²)
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Consigli

a²-b² è scomponibile, mentre a²+b² non lo è.
Ricorda come si scompongono le costanti, potrebbe esserti utile.
Fai attenzione quando devi lavorare sulle frazioni, esegui tutti i passaggi con cura.
Se hai un trinomio scritto nella forma x²+bx+ (b/2)², scomposto diventa (x+(b/2))² - potresti trovarti in questa situazione quando esegui un quadrato.
Ricorda che a0=0 (per la proprietà della moltiplicazione per zero).