Come Semplificare Frazioni Complesse

Co-redatto da David Jia

Le frazioni complesse sono frazioni in cui il numeratore, il denominatore o entrambi contengono a loro volta delle frazioni. Per questo motivo, le frazioni complesse sono in alcuni casi chiamate "frazioni impilate". Semplificare frazioni complesse è un processo che può variare da facile a difficile in base a quanti termini sono presenti al numeratore e al denominatore, se alcune di essi sono variabili, e, in caso affermativo, la complessità dei termini con variabile. Vedi lo step 1 per cominciare!

Metodo 1

Metodo 1 di 2:

Semplificare Frazioni Complesse con la Moltiplicazione Inversa

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Se necessario, semplifica il numeratore e il denominatore in frazioni singole. Le frazioni complesse non sono necessariamente difficili da risolvere. Infatti, frazioni complesse in cui sia il numeratore che il denominatore contengono una singola frazione sono spesso molto facili da risolvere. Così, se il numeratore o il denominatore della tua frazione complessa (o entrambi) contengono frazioni multiple o frazioni e numeri interi, semplifica in modo da ottenere una singola frazione sia al numeratore che al denominatore. Questo passo richiede il calcolo del Minimo Comun Denominatore (LCD) di due o più frazioni.
- Per esempio, supponiamo di voler semplificare la frazione complessa (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Per prima cosa, semplificheremo sia il numeratore che il denominatore della nostra frazione complessa in frazioni singole.
  - Per semplificare il numeratore, useremo l'LCD pari a 15 moltiplicando 3/5 per 3/3. Il nostro numeratore diventerà 9/15 + 2/15, che è uguale a 11/15.
  - Per semplificare il denominatore, useremo l'LCD pari a 70 moltiplicando 5/7 by 10/10 e 3/10 per 7/7. Il nostro denominatore diventerà 50/70 - 21/70, che è uguale a 29/70.
  - Quindi, la nostra nuova frazione complessa sarà (11/15)/(29/70).
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Ribalta il denominatore per trovare il suo inverso. Per definizione, dividere un numero per un altro è la stessa cosa che moltiplicare il primo numero per l'inverso del secondo. Ora che abbiamo ottenuto una frazione complessa con una singola frazione sia al numeratore che al denominatore, possiamo usare questa proprietà della divisione per semplificare la nostra frazione complessa! Per prima cosa, trova l'inversa della frazione al denominatore della frazione complessa. Fallo ribaltando la frazione - mettendo il numeratore al posto del denominatore e vice versa.
- Nel nostro esempio, la frazione al denominatore della nostra frazione complessa (11/15)/(29/70) è 29/70. Per trovare l'inversa, la ribaltiamo semplicemente ottenendo 70/29.
  - Nota che, se la tua frazione complessa ha un numero intero come denominatore, puoi trattarlo come se fosse una frazione e invertirlo allo stesso modo. Per esempio, se la nostra funzione complessa fosse (11/15)/(29), potremmo definire il suo denominatore come 29/1, e quindi il suo inverso sarebbe 1/29.
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Moltiplica il numeratore della frazione complessa per l'inversa del denominatore. Ora che hai ottenuto l'inversa della tua frazione al denominatore, moltiplicala per il numeratore per ottenere una singola frazione semplice! Ricorda che per moltiplicare due frazioni, si moltiplica semplicemente il tutto - il numeratore della nuova frazione sarà il prodotto dei numeratori delle due vecchie, lo stesso per il denominatore.
- Nel nostro esempio moltiplicheremo 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 e 15 × 29 = 435. Così, la nostra nuova frazione semplice sarà 770/435.
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Semplifica la nuova frazione trovando il massimo comun divisore (M.C.D.). Ora abbiamo una singola frazione semplice, perciò tutto quello che rimane da fare è semplificarla il più possibile. Trova l'M.C.D. del numeratore e del denominatore e dividi entrambi per questo numero per semplificarli.
- Un fattore comune di 770 e 435 è 5. Perciò se dividiamo il numeratore e il denominatore della nostra frazione per 5, otteniamo 154/87. 154 e 87 non hanno più fattori comuni, perciò sappiamo di aver trovato la nostra soluzione!
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Metodo 2

Metodo 2 di 2:

Semplificare Frazioni Complesse Contenenti Variabili

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Quando possibile utilizza il metodo della moltiplicazione inversa del metodo precedente. Per essere chiari, potenzialmente tutte le frazioni complesse possono essere semplificate riducendo il numeratore e il denominatore a frazioni semplici e moltiplicando il numeratore per l'inverso del denominatore. Le frazioni complesse che contengono variabili non costituiscono un'eccezione, ma, più è complicata l'espressione contenente la variabile, più è complicato e dispendioso in termini di tempo utilizzare il metodo della moltiplicazione inversa. Per frazioni complesse "semplici" contenenti variabili, la moltiplicazione inversa è una buona scelta, ma per frazioni con molti termini contenenti variabili, sia al numeratore che al denominatore, può essere più semplice effettuare una semplificazione con il metodo descritto sotto.
- Ad esempio, (1/x)/(x/6) è facile da semplificare con l'utilizzo della moltiplicazione inversa. 1/x × 6/x = 6/x². Qui, non c'è bisogno di utilizzare un metodo alternativo.
- Mentre, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) è più difficile da semplificare con la moltiplicazione inversa. Ridurre il numeratore e il denominatore di questa frazione complessa a frazioni singole, e ridurre il risultato ai minimi termini è probabilmente un procedimento complicato. In questo caso il metodo alternativo mostrato sotto dovrebbe essere più semplice.
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Se la moltiplicazione inversa è impraticabile, inizia trovando il minimo comun denominatore fra i termini frazionari della funzione complessa. Il primo passo in questo metodo alternativo di semplificazione è trovare l'LCD di tutti i termini frazionari presenti nella frazione complessa - sia nel suo numeratore che nel suo denominatore. Di solito, uno o più dei termini frazionari hanno variabili al loro denominatore, l'LCD è semplicemente il prodotto dei loro denominatori.
- Questo è più semplice da capire con un esempio. Proviamo a semplificare la frazione complessa nominata sopra, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). I termini frazionari in questa frazione complessa sono (1)/(x+3) e (1)/(x-5). Il denominatore comune di queste due frazioni è il prodotto dei loro denominatori: (x+3)(x-5).
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Moltiplica il numeratore della frazione complessa per l'LCD che hai appena trovato. Poi dovremo moltiplicare i termini della frazione complessa per l'LCD dei suoi termini frazionari. In altre parole moltiplicheremo la frazione complessa per (LCD)/(LCD). Possiamo farlo visto che (LCD)/(LCD) = 1. In primo luogo, moltiplica il numeratore per conto suo.
- Nel nostro esempio, moltiplicheremo la nostra frazione complessa, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), per ((x+3)(x-5))/((x+3)(x-5)). Dovremmo moltiplicarlo sia per il numeratore che per il denominatore della frazione complessa, moltiplicando ogni termine per (x+3)(x-5).
  - Per prima cosa, moltiplichiamo il numeratore: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)
    - = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))
    - = (x-5) + (x(x² - 2x - 15)) - (10(x² - 2x - 15))
    - = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    - = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    - = x³ - 12x² + 6x + 145
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Moltiplica il denominatore della frazione complessa per l'LCD come hai già fatto con il numeratore. Prosegui moltiplicando la frazione complessa per l'LCD che hai trovato, procedendo con il denominatore. Moltiplica ogni termine per l'LCD:
- Il denominatore della nostra frazione complessa, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), è x +4 +((1)/(x-5)). Lo moltiplicheremo per l'LCD che abbiamo trovato, (x+3)(x-5).
  - (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5)
  - = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).
  - = x(x² - 2x - 15) + 4(x² - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
  - = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x+3)
  - = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x+3)
  - = x³ + 2x² - 22x - 57
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Forma una nuova frazione semplificata dal numeratore e dal denominatore che hai appena trovato. Dopo aver moltiplicato la tua frazione per il tuo (LCD)/(LCD) e aver semplificato i termini simili, dovresti rimanere con una frazione semplice senza termini frazionari. Come potrai aver capito, moltiplicando per l'LCD dei termini frazionari nella frazione complessa originaria, i denominatori di queste frazioni si cancellano, lasciando termini con variabili e numeri interi sia al numeratore che al denominatore della tua soluzione, ma nessuna frazione.
- Utilizzando il numeratore e il denominatore trovati sopra, possiamo costruire una frazione che è equivalente a quella di partenza, ma che non contiene termini frazionari. Il numeratore che avevamo ottenuto era x³ - 12x² + 6x + 145 e il denominatore era x³ + 2x² - 22x - 57, perciò la nostra nuova frazione sarà (x³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)
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Consigli

Annota ogni step che effettui. Le frazioni possono creare facilmente confusione se cerchi di risolverle troppo velocemente o a mente.
Trova degli esempi di frazioni complesse online o sul tuo libro di testo. Segui ogni step finché non riesci a risolverle.