Come Tracciare il Grafico di un'Equazione

Traccia una linea dei numeri. Dato che le disequazioni con una incognita si rappresentano con un solo asse, non è necessario disegnare un sistema di riferimento cartesiano; in tal caso, è sufficiente una linea dei numeri.

Disegna il grafico. È una procedura piuttosto semplice perché lavori con una sola coordinata. Ti viene assegnata una disequazione, ad esempio x<1 da rappresentare in un grafico. Per prima cosa, trova il valore "1" sulla linea dei numeri.

• Se il problema si esprime con i segni "maggiore di" (>) oppure "minore di" (<), devi disegnare un cerchio vuoto attorno al numero sulla linea.
• Se è presente il simbolo "maggiore o uguale a" (≥) o "minore o uguale a" (≤), devi riempire il cerchio.

Disegna la linea. Partendo dal punto che hai appena trovato, segui la direzione del simbolo della disequazione per rappresentarla graficamente. Se ti trovi di fronte al simbolo "maggiore di", la retta si estende verso destra e viceversa se il simbolo è quello "minore di". Aggiungi una freccia all'estremità della retta per indicare che prosegue e che non è un segmento.

Verifica la tua risposta. Sostituisci l'incognita x con qualsiasi numero e riportalo graficamente sulla linea dei numeri; se questo si trova sulla semiretta che hai appena definito, il grafico è preciso.

Sfrutta la struttura dell'intercetta e del coefficiente angolare. Si tratta della medesima formula che hai utilizzato per disegnare il grafico delle equazioni lineari, ma in questo caso al posto del segno di uguaglianza (=) hai quello "maggiore di" (>) oppure "minore di" (<).

• La struttura dell'intercetta e della pendenza è y=mx+b, dove m=coefficiente angolare e b=intercetta verticale.
• Una disequazione prevede più di una soluzione.

Traccia il grafico. Trova l'intercetta verticale e la pendenza per definirne le coordinate. Se utilizzi la disequazione elementare y>1/2x+1, l'intercetta è pari a "1". La pendenza è ½, il che significa che devi spostarti di una unità verso l'alto e due verso destra.

Disegna la retta. Prima di continuare controlla però il simbolo presente nella diseguaglianza. Se si tratta di quello di maggioranza, la linea deve essere tratteggiata; se è quello di minoranza, deve essere una linea continua.

Colora l'area. Poiché una disequazione prevede multiple soluzioni, devi mostrare tutte quelle possibili sul grafico colorando l'area che si trova sopra o sotto la linea.

• Scegli una coppia di coordinate; solitamente, l'origine (0,0) è il punto più semplice. Osserva se tale punto si trova sopra o sotto la linea che hai disegnato.
• Inserisci la coppia di coordinate nella disequazione al posto delle variabili. Considerando l'esempio precedente, ottieni: 0>1/2(0)+1; risolvi quindi la disequazione.
• Se il punto definito dalla coppia di coordinate si trova sopra la linea e la disequazione è vera, devi colorare l'area che si trova sopra la linea stessa; se la disequazione è falsa, devi colorare la porzione inferiore. Se il punto si trova sotto la linea e la disequazione è vera, colora la parte inferiore; se è falsa, devi aggiungere il colore alla zona soprastante.
• Ritornando all'esempio, il punto origine con coordinate (0,0) è sotto la linea tracciata e rende falsa la disequazione quando sostituisci le incognite; questo significa che devi colorare la porzione di grafico sopra la retta.^[1]

Studia il problema. Un'equazione di secondo grado contiene almeno una incognita elevata alla seconda potenza; solitamente, viene scritta nella forma y=ax²+bx+c.

• Il grafico di una equazione di questo tipo è una parabola, una curva a forma di "U".
• Devi trovare almeno tre punti per disegnare tale grafico, iniziando dal vertice cioè il punto centrale.

Trova i coefficienti "a", "b" e "c". Se consideri l'esempio y=x²+2x+1, a=1, b=2 e c=1. Ciascuna lettera corrisponde al numero che si trova direttamente prima della variabile a cui si accompagna nell'equazione; se non c'è alcun numero prima della x, il coefficiente è pari 1.

Trova il vertice. Si tratta del punto centrale della parabola e puoi individuarlo utilizzando la formula -b/2a. Nell'equazione precedente, questo significa -2/2(1), cioè -1.

Costruisci una tabella. Sai che il vertice ha ascissa -1; tuttavia, si tratta solamente di uno dei due valori che costituiscono una coppia di coordinate. Per trovare l'ordinata e gli altri due punti della parabola, devi realizzare una tabella.

Disegnane una con tre righe e due colonne.

• Scrivi la coordinata x del vertice nella parte superiore della colonna centrale.
• Scegli altre due ascisse simmetriche rispetto a quella del vertice; per esempio, puoi aumentare e diminuire il valore di due unità e trovare i valori "-3" e "1".
• Puoi scegliere qualsiasi coppia di numeri per completare la prima riga della tabella, purché siano simmetrici e interi.
• Se vuoi ottenere un grafico più definito, puoi trovare cinque coppie di coordinate invece di tre; rispetta il medesimo processo, ma disegna cinque colonne anziché tre.

Sfrutta la tabella e l'equazione per trovare i valori corrispondenti di y. Prendi uno alla volta i numeri che hai scelto e che rappresentano le ascisse e sostituiscili a "x" nell'equazione; risolvi la formula per "y".

• Considerando l'esempio utilizzato finora, puoi usare la coordinata "-3" e inserirla nella formula originale y=x²+2x+1, trasformandola in y= -3²+2(3)+1, cioè y=4.
• Riporta l'ordinata appena trovata sotto l'ascissa corrispondente all'interno della tabella.
• Prosegui nello stesso modo per tutte e tre (o cinque) le ascisse.

Riporta i punti sul grafico. Ora che hai almeno tre coppie complete di coordinate, puoi disegnarle sul piano cartesiano; connettile con una linea parabolica e hai finito!

Risolvi la disequazione di secondo grado. La forma è la stessa di un'equazione di secondo grado, ma il simbolo di uguaglianza è sostituito da quello di disuguaglianza; ad esempio, il problema può presentarsi come y<ax²+bx+c. Sfruttando i passaggi descritti nella sezione precedente, trova i tre punti della parabola.

Riporta le coordinate sul sistema cartesiano. Sebbene tu abbia i tre punti necessari per disegnare la parabola, per il momento non tracciarla.

Unisci i tre punti sul grafico. Dato che stai rappresentando una disequazione di secondo grado, la linea deve essere leggermente diversa.

• Se il simbolo usato è "maggiore di" o "minore di" (> o <), devi utilizzare una linea tratteggiata.
• Se il simbolo è "maggiore o uguale a" oppure "minore o uguale a" (≥ o ≤), usa una linea continua.
• Aggiungi una freccia a entrambe le estremità per indicare che la linea si estende oltre i limiti del grafico.

Colora il grafico. Per rappresentare le soluzioni multiple di una disequazione devi colorare l'area in cui potrebbero essere contenute; per procedere devi inserire una coppia di coordinate nella disequazione e risolverla. L'origine (0,0) è il punto più semplice da usare; osserva se questo si trova all'interno o all'esterno della concavità della parabola.

• Risolvi la disequazione con le coordinate che hai scelto. Se usi l'esempio precedente, y>x²-4x-1, e sostituisci le incognite con le coordinate (0,0), ottieni: 0>0²-4(0)-1.
• Se la soluzione rende vera la disuguaglianza e il punto si trova dentro la concavità, colora la porzione interna; se invece è falsa, colora la parte esterna.
• Se la soluzione è vera e il punto è esterno alla figura, colora la parte esterna, altrimenti quella interna.^[2]

Esamina l'equazione. La versione più semplice di un'equazione con valore assoluto è y=|x|; tuttavia, potrebbero essere coinvolte altre variabili o altri numeri.

Imponi che il valore assoluto sia nullo. Per farlo scrivi tutto quello che si trova tra le due linee verticali (| |) pari a 0. Se consideri l'esempio y=|x-2|+1, devi scrivere |x-2|=0; di conseguenza, il valore assoluto diventa 2.

• Il valore assolto corrisponde al numero |x| di unità dal punto "0" sulla linea dei numeri, ne consegue che il valore di |2| è 2 e quello di |-2| è sempre 2; questo perché in entrambi i casi i numeri si trovano a due unità dallo zero.
• Potresti avere un'equazione con valore assoluto pari alla sola incognita "x"; in tal caso, il valore assoluto è "0". Per esempio, y=|x|+3 diventa y=|0|+3, cioè "3".

Realizza una tabella. Ti servono due colonne e tre righe.

• Inserisci la coordinata del primo valore assoluto nella prima riga della colonna per "x".
• Scegli altre due ascisse simmetriche rispetto al primo valore; se |x|=0, devi aumentare e diminuire il numero della stessa quantità di unità.
• Puoi scegliere qualsiasi numero, anche se quelli prossimi alla prima ascissa che hai trovato sono i più utili; ricorda che devono essere anche interi.

Risolvi l'equazione. Devi trovare le ordinate che corrispondono alle ascisse appena definite. Per farlo sostituisci l'incognita "x" con il numero scelto e risolvi l'equazione per "y"; annota le soluzioni nella tabella.