Come Trovare i Punti di Flesso

Info sull'Autore

Nel calcolo differenziale, un punto di flesso è un punto su una curva in cui la curvatura cambia di segno (da positivo a negativo o viceversa). E' utilizzato in varie materie, inclusa l'ingegneria, l'economia, e la statistica, per determinare cambiamenti fondamentali all'interno dei dati. Se hai bisogno di trovare un punto di flesso in una curva, vai allo Step 1.

Metodo 1

Metodo 1 di 3:

Capire i Punti di Flesso

1
Capire le funzioni concave. Per capire i punti di flesso, hai bisogno di distinguere funzioni concave da quelle convesse. Una funzione concava è una funzione in cui presa una qualsiasi linea che congiunge due punti del suo grafico, non sta mai sopra il grafico.
2
Capire le funzioni convesse. Una funzione convessa è essenzialmente l'opposto di una funzione concava: è una funzione in cui qualsiasi linea che congiunge due punti del suo grafico, non sta mai sotto il grafico.
3
Capire la radice di una funzione. Una radice di una funzione è il punto in cui la funzione è uguale a zero.
- Se si dovesse rappresentare graficamente una funzione, le radici sarebbero i punti in cui la funzione interseca l'asse x.
Pubblicità

Metodo 2

Metodo 2 di 3:

Trovare le Derivate di una Funzione

1
Trovare la derivata prima della funzione. Prima che tu possa trovare i punti di flesso, dovrai trovare le derivate della tua funzione. La derivata di una funzione di base può essere trovata in qualsiasi testo di analisi; devi impararle prima che tu possa passare a dei compiti più complessi. Le derivate prime sono indicate con f ′(x). Per espressioni polinomiali della forma ax^p + bx^(p−1) + cx + d, la derivata prima è apx^(p−1) + b(p − 1)x^(p−2) + c.
- Per esempio, supponiamo che tu debba trovare il punto di flesso della funzione f(x) = x³ +2x−1. Calcola la derivata prima della funzione nel seguente modo:
  
  f ′(x) = (x³ + 2x − 1)′ = (x³)′ + (2x)′ − (1)′ = 3x² + 2 + 0 = 3x² + 2
2
Trovare la derivata seconda della funzione. La derivata seconda è la derivata della derivata prima della funzione, indicata con f ′′(x).
- Nell'esempio sopra, la derivata seconda avrà il seguente aspetto:
  
  f ′′(x) = (3x² + 2)′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
3
Uguagliare la derivata seconda a zero. Uguaglia a zero la tua derivata seconda e trova le soluzioni. La tua risposta sarà un possibile punto di flesso.
- Nell'esempio sopra, il tuo calcolo avrà il seguente aspetto:
  
  f ′′(x) = 0
  6x = 0
  x=0
4
Trovare la derivata terza della funzione. Per capire se la tua soluzione è effettivamente un punto di flesso, trova la derivata terza, che è la derivata della derivata seconda della funzione, indicata con f ′′′(x).
- Nell'esempio sopra, il tuo calcolo avrà il seguente aspetto:
  
  f ′′′(x) = (6x)′ = 6
Pubblicità

Metodo 3

Metodo 3 di 3:

Trovare il punto di flesso

1
Valutare la derivata terza. La regola standard per calcolare un possibile punto di flesso come segue: "Se la derivata terza non è uguale a 0, allora f ′′′(x) ≠ 0, il possibile punto di flesso è effettivamente un punto di flesso." Controlla la tua derivata terza. Se non è uguale a 0 nel punto, è un flesso reale.
- Nell'esempio sopra, la tua derivata terza calcolata è 6, non 0. Perciò, è un punto di flesso reale.
2
Trovare il punto di flesso. La coordinata del punto di flesso è indicata come (x,f(x)), dove x è il valore della variabile x nel punto di flesso e f(x) è il valore della funzione nel punto di flesso.
- Nell'esempio sopra, ricorda che quando calcoli la derivata seconda, trovi che x = 0. Quindi, devi trovare f(0) per determinare le coordinate. Il tuo calcolo avrà il seguente aspetto:
  
  f(0) = 03 +2×0−1 = −1.
3
Annotare le coordinate. Le coordinate del tuo punto di flesso sono il valore della x e il valore calcolato sopra.
- Nell'esempio precedente le coordinate del punto di flesso sono (0, -1).
Pubblicità