Come Usare il Teorema di Pitagora

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Più di 2500 anni fa, il matematico greco Pitagora scoprì un teorema che viene usato ancora oggi. Il teorema di Pitagora enuncia che: In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Scritto algebricamente: a² + b² = c².

Sono molti gli utilizzi del teorema di Pitagora. Per esempio, può essere utilizzato per calcolare la distanza tra due città utilizzando un punto di riferimento o la grandezza di una vettore, dati i suoi componenti orizzontali e verticali.

Metodo 1

Metodo 1 di 4:

Nei Triangoli Retti

1
Scrivi il teorema di Pitagora: a2 + b2 = c2 e disegna una figura del triangolo che stai risolvendo.
2
Nomina il tuo triangolo. Nomina i due lati più corti “a” e “b” (non importa qual è a e qual è b) e nomina l’ipotenusa (il lato più lungo opposto all’angolo retto) “c”.
3
Determina il valore di quale lato stai cercando di trovare: a, b, o c. Di solito ti verranno dati due lati e dovrai utilizzare il teorema per trovare il terzo.
4
Riscrivi l’equazione con i valori noti.
- Se conosci il valore dei due cateti (per esempio 3 e 4), scrivi:
  3² + 4² = c²
- Se conosci il valore di un cateto e dell’ipotenusa (per esempio 3 e 5), scrivi:
  3² + b² = 5²
5
Calcola il quadrato.
- Il primo esempio dovrebbe essere così scritto: 9 + 16 = c ².
- Il secondo: 9 + b² = 25.
6
Addiziona i membri.
- In questo caso tutti i membri della parte sinistra dell’equazione sono numeri, quindi possiamo addizionarli per ottenere: 25 = c².
- Nel secondo esempio dovrai sottrarre 3² da entrambe i lati dell’equazione per isolare la variabile.
7
Fai la radice quadrata. Una volta fatta la radice quadrata di entrambe i lati dell’equazione, rimarrai con c = 5.
- Esempio: Data un’ipotenusa di valore 10 e un cateto di valore 8, calcolare il valore dell’altro cateto.
  - a² + b² = c²
    
    (8)² + b² = (10)²
    
    64 + b² = 100
    
    b² = 100 - 64
    
    b² = 36
    
    b = radice quadrata di 36
    
    b = 6
- Esempio: una scala è appoggiata al muro di un palazzo. La base della scala misura 5 metri a partire dalla base del muro. La scala raggiunge i venti metri del muro del palazzo. Quanto è lunga la scala?
  - “5 metri a partire dalla base del muro” significa a = 5 e “raggiunge i venti metri del muro” significa b = 20. La lunghezza della scala è l’ipotenusa, quindi c è ignota.
    - a² + b² = c²
      
      (5)² + (20)² = c²
      
      25 + 400 = c²
      
      425 = c²
      
      c = radice quadrata di 425
      
      c = 20,6 (arrotondata alla decina più vicina)
      
      Quindi la lunghezza approssimativa della scala è 20,6 metri.
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Metodo 2

Metodo 2 di 4:

Come Parte della Formula della Distanza

La formula della distanza è usata in geometria per trovare la distanza tra due punti qualunque.

1
Decidi quali punti usare. Di solito, i punti sono dati come coppie ordinate.
2
Disegna i punti su di un grafico. (x,y) dove x è l’asse orizzontale e y è l’asse verticale.
3
Trova la lunghezza dei cateti del tuo triangolo. Puoi calcolarla contando la differenza sul grafico o usando (x₁ - x₂) per la x e (y₁ - y₂) per la y.
4
Usa il teorema di Pitagora. La distanza tra i due punti è l’ipotenusa del triangolo.
- Esempio:
  - Usando i punti (3,5) e (6,1):
    
    3-6 = -3 (x)
    
    5-1 = 4 (y)
    
    (-3)²+(4)²= c²
    
    c= radice(9+16)
    
    c= radice(25)
    
    c= 5
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Metodo 3

Metodo 3 di 4:

In Triangoli non Retti Usando la Trigonometria

Questa sezione porta l’esempio delle due città menzionate prima: in questo caso dovrai trovare il valore della distanza tra la città A e la città C.
Per questo esercizio considera che i cateti a e b siano noti (vedi il disegno sotto).

1
Disegna il tuo triangolo.
2
Disegna l’altitudine. L’altitudine è una linea perpendicolare all’ipotenusa che passa attraverso il vertice opposto. In questo caso l’altitudine è “c”.
3
Misura l’angolo tra la linea che connette la città A alla città B e la linea d’altitudine.
- Di solito l’angolo sarà dato in questo tipo di problemi. In caso contrario, misura l’angolo usando un goniometro.
4
Usa la funzione trigonometrica coseno per trovare la lunghezza dell’altitudine: Se la lunghezza “a” è nota, allora: Cos(A) = c/a e c = aCos(A)
5
Usa il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza della linea che parte dalla città A e arriva all’altitudine:
x1 = radice(a² – c²)
6
Usa il teorema di Pitagora per trovare la distanza tra l’altitudine e la città C: x2 = radice(b² – c²)
7
Fai la somma di x1 e x2.
8
Esempio: Esempio: Vivi nella città A e hai un amico che vive nella città C e vuoi sapere quanto distante vive il tuo amico da te. Sai che la città B dista circa 50 miglia e altri 100 miglia da lì alla città C. Quanto dista la città A dalla città C? (Arrotonda tutti i calcoli alla decina più vicina)
- Disegna l’altitudine e misura l’angolo.
- Usa la funzione coseno per trovare la lunghezza dell’altitudine:
  lunghezza = 50 x Cos(30) = 50 x 866 arrotondato a 43,3 miglia
- Usa il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza di x1:
  x1 = radice(50² - 43,3²) = radice(625,11) = 25,0 miglia
- Usa il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza della distanza di x2:
  x2 = radice(100² - 43,3²) = radice(8125,1) = 90,1 miglia
- Somma le due distanze per trovare la distanza totale:
  x1 + x2 = 25 + 90,1 = 115,1 miglia
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Metodo 4

Metodo 4 di 4:

Nelle Addizioni Vettoriali

Il teorema di Pitagora è utilizzato per calcolare i vettori risultante. Ciò si può fare dividendo i vettori nei componenti “x” e “y” (e “z” nel terzo) e addizionarli come componenti. I componenti risultanti (i cateti del triangolo retto) possono essere utilizzati per calcolare la risultante (ipotenusa).

1
Dividi i vettori nei componenti x e y. I vettori hanno una direzione e una grandezza: la direzione è l’angolo creato in senso antiorario a partire dall’asse positiva x; la grandezza è la lunghezza della vettore. Per dividere il vettore in componenti, dovrai usare la trigonometria. Per esempio, un vettore con grandezza “M” e un angolo “30”:
- x = M*cos(30)
- y = M*sin(30)
2
Addiziona i componenti. Ora che i vettori sono scomposti nei componenti x e y, fai la somma dei componenti x e la somma dei componenti y. Questi sono i cateti del triangolo.
3
Usa il teorema di Pitagora. In questo caso (somma di x)² + (somma di y)² = c², dove “c” è la grandezza risultante.
- Esempio:
  
  Addiziona i vettori (10,30) e (15,45):
  
  [10cos(30) + 15cos(45)] = 19,27 (arrotondato alla centinaia più vicina) #*(x)
  
  [10sin(30) + 15sin(45)] = 15,61(arrotondato alla centinaia più vicina) #*:(y)
  
  (19,27)² + (15,61)² = c²
  
  c = radice(371,3329 + 243,6721)
  
  c = radice(615,005)
  
  c = 24,80
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Consigli

Se il triangolo non è retto, avrai bisogno di più informazioni delle sole lunghezze dei due cateti.
L’ipotenusa è sempre:
- adiacente all’angolo destro (non lo tocca)
- il lato più lungo del triangolo retto
- si sostituisce con “c” nel teorema di Pitagora
radice(x) significa “radice quadrata di x”
Se hai solo la misura di un cateto, allora il teorema di Pitagora non funzionerà. Prova ad usare la trigonometria o i rapporti 30-60-90 / 45-45-90.
I diagrammi sono la chiave per assegnare correttamente i valori a, b e c. Se stai lavorando ad un problema con un testo, sii sicuro di tradurlo in un diagramma prima.
Ricorda di controllare più di una volta il tuo lavoro. Se la risposta non sembra corretta, riprova.
Un altro controllo - il lato più lungo sarà opposto all’angolo più ampio e il lato più corto sarà opposto all’angolo più piccolo.