Come Usare la Regola del 72

• Il corollario di Felix della Regola del 72 è usato per stimare il valore futuro di una rendita (una serie di pagamenti regolari). Esso afferma che il valore futuro di una rendita il cui tasso d'interesse annuale e il numero dei pagamenti moltiplicati tra loro danno 72, può essere determinata approssimativamente moltiplicando la somma dei pagamenti per 1,5. Per esempio, 12 pagamenti periodici di 1000 euro con crescita del 6% per periodo varranno circa 18.000 euro dopo l'ultimo periodo. Questa è un'applicazione del corollario di Felix dal momento che 6 (il tasso d'interesse annuo) moltiplicato 12 (il numero dei pagamenti) fa 72, così il valore della rendita è circa 1,5 moltiplicato 12 volte 1000 euro.
• Il valore 72 è scelto come un numeratore conveniente, perché ha molti piccoli divisori: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, e 12. Esso fornisce una buona approssimazione per la capitalizzazione annuale a un tasso d'interesse tipico (dal 6% al 10%). Le approssimazioni sono meno esatte con tassi d'interesse più alti.
• Lascia che la regola del 72 lavori per te, cominciando a risparmiare subito. A un tasso di crescita dell'8% annuo (il tasso approssimativo di rendimento del mercato azionario), puoi raddoppiare il tuo denaro in 9 anni (8 * 9 = 72), quadruplicarlo in 18 anni, e avere 16 volte il tuo denaro in 36 anni.

Capitalizzazione Periodica

1. Per la capitalizzazione periodica, FV = PV (1 + r)^T, dove FV = valore futuro, PV = valore presente, r = tasso di crescita, T = tempo.
2. Se il denaro è raddoppiato, FV = 2*PV, così 2PV = PV (1 + r)^T, o 2 = (1 + r)^T, assumendo che il valore presente non sia pari a zero.
3. Risolvi per T estraendo i logaritmi naturali di entrambi i lati, e riorganizza per ottenere T = ln(2) / ln(1 + r).
4. Le serie di Taylor per ln(1 + r) intorno allo 0 è r - r²/2 + r³/3 - ... Per bassi valori di r, le contribuzioni dei termini più alti sono piccole, e l'espressione stima r, cosicché t = ln(2) / r.
5. Nota che ln(2) ~ 0.693, quindi T ~ 0.693 / r (o T = 69.3 / R, esprimendo il tasso d'interesse come percentuale di R da 0 a 100%), che è la regola del 69,3. Altri numeri come 69, 70 e 72 sono usati solo per comodità, per rendere più facili i calcoli.

Capitalizzazione Continua

1. Per capitalizzazioni periodiche con multiple capitalizzazioni durante l'anno, il valore futuro è dato da FV = PV (1 + r/n)^nT, dove FV = valore futuro, PV = valore presente, r = tasso di crescita, T = tempo, e n = numero di periodi di capitalizzazione per anno. Per la capitalizzazione continua, n tende all'infinito. Usando la definizione di e = lim (1 + 1/n)^n con n che tende all'infinito, l'espressione diventa FV = PV e^(rT).
2. Se il denaro è raddoppiato, FV = 2*PV, così 2PV = PV e^(rT), o 2 = e^(rT), assumendo che il valore presente non sia pari a zero.
3. Risolvi per T estraendo i logaritmi naturali di entrambi i lati, e riorganizza per ottenere T = ln(2)/r = 69,3/R (dove R = 100r per esprimere il tasso di crescita come una percentuale). Questa è la regola del 69,3.

• Per capitalizzazioni continue, 69,3 (o approssimativamente 69) restituisce risultati migliori, dal momento che ln(2) è circa 69.3%, e R * T = ln(2), dove R = tasso di crescita (o decrescita), T = il tempo di raddoppio (o dimezzamento) e ln(2) è il logaritmo naturale di 2. Si può anche usare 70 come un'approssimazione per capitalizzazioni continue o giornaliere, per agevolare i calcoli. Queste variazioni sono note come regola del 69,3', regola del 69 o regola del 70.
  • Un aggiustamento di precisione simile per la regola del 69,3 è usata per alti tassi con capitalizzazione giornaliera: T = (69.3 + R/3) / R.
• Per stimare il raddoppio per alti tassi, aggiusta la regola del 72 aggiungendo una unità per ogni punto percentuale maggiore dell'8%. Cioè, T = [72 + (R - 8%)/3] / R. Per esempio, se il tasso d'interesse è del 32%, il tempo che ci vuole per raddoppiare un dato ammontare di denaro è T = [72 + (32 - 8)/3] / 32 = 2,5 anni. Nota che abbiamo usato 80 invece di 72, che avrebbe dato un periodo di 2,25 anni per il tempo di raddoppio
• Ecco una tabella con il numero di anni necessari per raddoppiare qualsiasi somma di denaro a vari tassi di interesse, e confrontare l'approssimazione con varie regole.

• La Regola di secondo ordine di Eckart-McHale, o regola E-M, dà una correzione moltiplicativa alla regola del 69,3 o 70 (ma non 72), per una migliore precisione per tassi d'interesse alti. Per calcolare l'approssimazione E-M, moltiplica il risultato della regola del 69,3 (o 70) per 200/(200-R), cioè T = (69.3/R) * (200/(200-R)). Per esempio, se il tasso d'interesse è pari al 18%, la regola del 69,3 dice che t = 3,85 anni. La regola E-M Rule moltiplica questo per 200/(200-18), dando un tempo di raddoppio di 4,23 anni, che stima meglio il tempo di raddoppio effettivo di 4,19 anni a questo tasso.
  • La regola di terzo ordine di Padé dà un'approssimazione ancora migliore, usando il fattore di correzione (600 + 4R) / (600 + R), cioè T = (69,3/R) * ((600 + 4R) / (600 + R)). Se il tasso di interesse è pari al 18%, la regola di terzo ordine di Padé stima T = 4,19 anni.