Come Utilizzare la Moltiplicazione Incrociata

Il prodotto incrociato o moltiplicazione incrociata è un processo matematico che permette di risolvere una proporzione costituita da due membri frazionari che presentano entrambi una variabile. Una variabile è un carattere alfabetico che indica un valore arbitrario non noto. Il prodotto incrociato permette di ridurre la proporzione a una semplice equazione che, se risolta, darà come risultato il valore della variabile in oggetto. Il prodotto incrociato è molto utile nel caso in cui si debba risolvere una proporzione. Prosegui nella lettura per scoprire come utilizzarlo.

Metodo 1

Metodo 1 di 2:

Prodotto Incrociato con una Sola Variabile

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Moltiplica il numeratore della frazione del membro sinistro della proporzione per il denominatore della frazione che occupa il membro destro. Ipotizza di dover risolvere la seguente equazione 2/x = 10/13. Seguendo le indicazioni dovrai eseguire questi calcoli 2 * 13, ottenendo come risultato 26.^{[1]
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Adesso moltiplica il numeratore della frazione del membro destro della proporzione per il denominatore della frazione che occupa il membro sinistro. Proseguendo con l'esempio precedente e seguendo le indicazioni, dovrai eseguire questi calcoli x * 10 ottenendo come risultato 10. Se preferisci, puoi iniziare da questo passaggio anziché dal precedente. Non importa l'ordine con cui esegui il prodotto incrociato dei numeratori e dei denominatori dell'equazione.^{[2]
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Adesso eguaglia i due prodotti che hai ottenuto per poter risolvere l'equazione risultante. Arrivato a questo punto, devi risolvere la seguente equazione semplice: 26 = 10x. Anche in questo caso non ha importanza quale valore riporti per primo all'interno dell'equazione. Puoi scegliere di risolvere l'equazione 26 = 10x o 10x = 26. L'importante è che entrambi i termini dell'equazione vengano gestiti come valori interi.^{[3]
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- Provando a risolvere l'equazione 2/x = 10/13 in base alla variabile x otterrai che 2 * 13 = x * 10 cioè 26 = 10x.
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Adesso risolvi l'equazione ottenuta in base alla variabile in esame. A questo punto devi lavorare sulla seguente equazione 26 = 10x. Inizia trovando un denominatore comune che possa essere usato come divisore sia per 26 sia per 10 e che permetta di ottenere in entrambi i casi un quoziente intero. Dato che entrambi i valori in gioco sono numeri pari, puoi dividerli entrambi per 2 ottenendo 26/2 = 13 e 10/2 = 5. A questo punto l'aspetto dell'equazione di partenza sarà 13 = 5x. Adesso, per isolare la variabile x, occorre dividere entrambi i membri dell'equazione per 5 ottenendo 13/5 = 5x/5, cioè 13/5 = x. Se vuoi esprimere il risultato finale sotto forma di numero decimale, puoi dividere entrambi i membri dell'equazione di partenza per 10 ottenendo 26/10 = 10x/10 cioè 2,6 = x.^{[4]
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Metodo 2

Metodo 2 di 2:

Prodotto Incrociato con Due Variabili Uguali

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Moltiplica il numeratore del membro sinistro della proporzione per il denominatore del membro destro. Ipotizza di dover risolvere la seguente equazione: (x + 3)/2 = (x + 1)/4. Inizia moltiplicando (x + 3) per 4 ottenendo 4(x + 3). Esegui i calcoli per semplificare l'espressione ottenendo 4x + 12.
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Adesso moltiplica il numeratore del membro destro della proporzione per il denominatore del membro sinistro. Proseguendo con l'esempio precedente otterrai (x +1) x 2 = 2(x +1). Eseguendo i calcoli otterrai 2x + 2.
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Imposta una nuova equazione usando i due prodotti che hai appena calcolato e combina fra loro i termini simili. Arrivato a questo punto dovrai lavorare sull'equazione 4x + 12 = 2x + 2. Riordina i termini dell'equazione in modo da isolare da una parte tutti quelli che presentano la variabile x e dall'altra tutte le costanti.
- Per gestire i termini con la variabile x, cioè 4x e 2x, sottrai il valore 2x da ambo i membri dell'equazione in modo che la variabile x scompaia dal membro destro perché 2x - 2x dà come risultato 0. Invece all'interno del membro sinistro otterrai 4x - 2x cioè 2x.
- Adesso sposta tutti i valori interi nel membro destro dell'equazione sottraendo da ambo i lati il numero 12. In questo modo il valore intero del membro sinistro verrà eliminato perché 12 – 12 è pari a 0. Mentre all'interno del membro destro otterrai 2 – 12 cioè -10.
- Dopo aver eseguito i calcoli indicati avrai ottenuto la seguente equazione 2x = -10.
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Risolvi la nuova equazione in base a x. Tutto quello che devi fare è dividere entrambi i membri dell'equazione per il numero 2 ottenendo 2x/2 = -10/2 cioè x = -5. Dopo aver applicato il prodotto incrociato hai scoperto che il valore di x è pari a -5. Puoi verificare la correttezza del tuo lavoro sostituendo il valore -5 nell'equazione di partenza al posto della variabile x ed eseguendo i calcoli. In questo caso otterrai un'equazione valida, cioè -1 = -1, quindi significa che hai lavorato in modo corretto.

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Consigli

Puoi verificare facilmente la correttezza del tuo lavoro sostituendo il risultato ottenuto al posto della variabile presente nella proporzione originale. Se eseguendo i calcoli e le dovute semplificazioni, l'equazione risulta essere valida, per esempio 1 = 1, significa che il risultato che hai ottenuto è corretto. Se dopo aver eseguito i calcoli e le semplificazioni ottieni un'equazione non valida, per esempio 0 = 1, significa che hai commesso qualche errore. Nell'esempio indicato nell'articolo, sostituendo alla variabile x il valore 2,6 otterresti la seguente equazione: 2/(2.6) = 10/13. Moltiplicando il membro sinistro per la frazione 5/5 otterresti 10/13 = 10/13 che semplificando diventa 1 = 1. In questo caso significa che il valore di x pari a 2,6 risulta essere coretto.
Nota che sostituendo la variabile con un valore qualsiasi diverso da quello corretto, per esempio 5, otterresti la seguente equazione 2/5 = 10/13. In questo caso anche moltiplicando il membro sinistro dell'equazione nuovamente per 5/5, otterresti 10/25 = 10/13, risultato che è chiaramente incorretto. Si tratta di un segnale evidente e chiaro che hai commesso un errore nell'applicare la tecnica del prodotto incrociato.