Come Dimostrare la Proprietà della Somma degli Angoli di un Triangolo

Co-redatto da Lo Staff di wikiHow

È risaputo che la somma degli angoli interni di un triangolo sia pari a 180°, ma come si è giunti a tale affermazione? Per dimostrarlo, devi conoscere i teoremi comuni di geometria. Usando alcuni di questi concetti, puoi procedere semplicemente alla dimostrazione.

Parte 1

Parte 1 di 2:

Dimostrare la Proprietà della Somma degli Angoli

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Disegna una linea parallela al lato BC del triangolo che attraversa il vertice A. Nomina tale segmento "PQ e costruisci questa linea parallela alla base del triangolo.^{[1]
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Scrivi l'equazione: angolo PAB + angolo BAC + angolo CAQ = 180°. Ricorda che tutti gli angoli che compongono una linea retta devono essere pari a 180°. Dato che gli angoli PAB, BAC e CAQ tutti insieme formano il segmento PQ, la loro somma deve essere pari a 180°. Definisci tale uguaglianza come "Equazione 1".^{[2]
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Afferma che l'angolo PAB è uguale all'angolo ABC e che l'angolo CAQ è uguale a quello ACB. Dato che la linea PQ è parallela al lato BC per costruzione, gli angoli alterni interni (PAB e ABC) definiti dalla linea trasversale (AB) sono congruenti; per la stessa ragione, gli angoli alterni interni (CAQ e ACB) definiti dalla linea diagonale AC sono uguali.^{[3]
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- Equazione 2: angolo PAB = angolo ABC;
- Equazione 3: angolo CAQ = angolo ACB.
- L'uguaglianza degli angoli alterni interni di due linee parallele attraversate da una diagonale è un teorema di geometria.^{[4]
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Riscrivi l'equazione 1 sostituendo l'angolo PAB con quello ABC e l'angolo CAQ con quello ACB (che si trovano nell'equazione 2 e 3). Sapendo che gli angoli alterni interni sono uguali, puoi sostituire quelli che compongono la linea con quelli del triangolo.^{[5]
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- Di conseguenza, puoi affermare che: angolo ABC + angolo BAC + angolo ACB = 180°.
- In altri termini, in un triangolo ABC, l'angolo B + l'angolo A + l'angolo C = 180°; ne consegue che la somma degli angoli interni è pari a 180°.
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Parte 2

Parte 2 di 2:

Comprendere la Proprietà della Somma degli Angoli

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Definisci la proprietà della somma degli angoli di un triangolo. Questa afferma che sommando gli angoli interni di un triangolo si ottiene sempre il valore di 180°.^{[6]
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Fonte di ricerca} Ogni triangolo ha sempre tre vertici; indipendentemente dal fatto che sia acutangolo, ottusangolo o rettangolo, la somma dei suoi angoli è sempre 180°.
- Per esempio, in un triangolo ABC, l'angolo A + l'angolo B + l'angolo C = 180°.
- Questo teorema si rivela utile per trovare l'ampiezza di un angolo sconosciuto conoscendo quella degli altri due.
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Studia alcuni esempi. Per interiorizzare il concetto, vale la pena prendere in esame alcuni esempi pratici. Osserva un triangolo rettangolo in cui un angolo misura 90° e gli altri due 45°. Sommando le ampiezze trovi che 90° + 45° + 45° = 180°. Considera altri triangoli di dimensioni e tipologie differenti e trova la somma degli angoli interni; puoi accorgerti che il risultato è sempre 180°.^{[7]
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Fonte di ricerca}
- Per l'esempio del triangolo rettangolo: angolo A = 90°, angolo B = 45° e angolo C = 45°. Il teorema afferma che angolo A + angolo B + angolo C = 180°. Sommando le ampiezze trovi che: 90° + 45° + 45° = 180°; di conseguenza, l'uguaglianza è verificata.
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Sfrutta il teorema per trovare un angolo di ampiezza sconosciuta. Svolgendo dei semplici calcoli algebrici, puoi sfruttare il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo per trovare il valore di quello ignoto conoscendo gli altri due. Modifica la disposizione dei termini dell'equazione e risolvila per l'incognita.
- Per esempio, in un triangolo ABC, l'angolo A = 67° e l'angolo B = 43°, mentre l'angolo C è sconosciuto.
- Angolo A + angolo B + angolo C = 180°;
- 67° + 43° + angolo C = 180°;
- Angolo C = 180° - 67° - 43°;
- Angolo C = 70°.
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