Come Dividere i Logaritmi

Co-redatto da Lo Staff di wikiHow

A prima vista, i logaritmi potrebbero sembrare difficili da usare, ma sono esattamente come le potenze o i polinomi: devi solo imparare i procedimenti corretti. Hai bisogno solamente di un paio di proprietà elementari per dividere due logaritmi con la stessa base oppure espandere quello che contiene una frazione.

Metodo 1

Metodo 1 di 2:

Dividere i Logaritmi a Mano

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Osserva il problema alla ricerca di numeri negativi o 1. Il metodo descritto in questa sezione permette di risolvere le divisioni in questa forma: ${\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}$ ${\frac {\log _{{b}}(x)}{\log _{{b}}(a)}}$ ; tuttavia, non è applicabile per alcuni casi specifici:^{[1]
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Fonte di ricerca}
- Il logaritmo di un numero negativo è indefinito per tutte le basi (ad esempio $\log(-3)$ o $\log _{4}(-5)$ ); in questo caso, scrivi "nessuna soluzione".
- Il logaritmo di 0 è indefinito per tutte le basi; se trovi un termine come $\ln(0)$ , scrivi "nessuna soluzione".
- Il logaritmo di 1 in qualsiasi base ( $\log(1)$ ) è sempre pari a zero, dato che $x^{0}=1$ per ogni x; sostituisci il logaritmo con il numero 0 invece di usare il metodo descritto qui di seguito.
- Se due logaritmi hanno una base differente, come ${\frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}$ e non puoi semplificare uno dei due come numero intero, il problema non è risolvibile a mano.
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Converti l'espressione in logaritmo. Supponendo che il problema non rientri in uno dei casi sopra descritti, puoi semplificarlo in un solo logaritmo; per farlo, usa la formula ${\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)$ ${\frac {\log _{{b}}(x)}{\log _{{b}}(a)}}=\log _{{a}}(x)$ .
- Primo esempio: risolvi il problema ${\frac {\log {16}}{\log {2}}}$ .
  Per prima cosa, converti la frazione in un logaritmo usando la formula descritta in precedenza: ${\frac {\log {16}}{\log {2}}}=\log _{2}(16)$ .
- Questa è la formula di "cambio di base" che deriva dalle proprietà elementari dei logaritmi.
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Calcola la soluzione a mano se possibile. Ricorda che per risolvere $\log _{a}(x)$ $\log _{{a}}(x)$ devi pensare " $a^{?}=x$ $a^{{?}}=x$ ", cioè "per quale potenza devo elevare a per ottenere x?". Questo processo non è sempre fattibile senza l'ausilio di una calcolatrice, ma se sei fortunato, potresti imbatterti in un logaritmo semplice.
- Primo esempio: riscrivi $\log _{2}(16)$ come $2^{?}=16$ ; il valore di "?" è la soluzione del problema. Puoi trovarlo procedendo per tentativi:
  $2^{2}=2*2=4$
  $2^{3}=4*2=8$
  $2^{4}=8*2=16$
  16 è il risultato che stavi cercando, quindi la soluzione di $\log _{2}(16)$ è 4.
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Lascia la risposta in forma logaritmica se non puoi semplificarla. Alcuni logaritmi sono davvero molto complessi da risolvere a mano; se hai bisogno di trovare un numero per scopi pratici, dovresti usare una calcolatrice. Se stai risolvendo un problema scolastico, è probabile che il docente si aspetti che tu lasci la soluzione in forma di logaritmo. Ecco un altro esempio più complesso che si avvale di questo metodo.
- Secondo esempio: trova la soluzione di ${\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}$ .
- Trasforma la frazione in un unico logaritmo: ${\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}=\log _{7}(58)$ . Nota che ₃ di ogni logaritmo iniziale sparisce e questo accade per qualsiasi base.
- Riscrivilo sotto forma di $7^{?}=58$ e cerca le possibili soluzioni per "?":
  $7^{2}=7*7=49$
  $7^{3}=49*7=343.$
  Dato che 58 ricade fra due potenze consecutive, la soluzione di $\log _{7}(58)$ non è un numero intero.
- Lascia $\log _{7}(58)$ come soluzione.
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Metodo 2

Metodo 2 di 2:

Logaritmi con Frazione

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Inizia dalla divisione che si trova all'interno del logaritmo. Questa sezione dell'articolo ti insegna a risolvere i problemi che includono le espressioni nella seguente forma: $\log _{a}({\frac {x}{y}})$ $\log _{{a}}({\frac {x}{y}})$ .
- Per esempio, considera:
  "Risolvi per "n" se $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{3}(6)$ ".
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Controlla la presenza di numeri negativi. Il logaritmo di un numero minore di zero è indefinito; se "x" o "y" sono negativi, accertati che il problema possa essere risolto prima di continuare:
- Se "x" o "y" è negativo, non c'è soluzione;
- Se "x" e "y" sono entrambi negativi, togli il segno "-" usando la proprietà ${\frac {-x}{-y}}={\frac {x}{y}}$ ;
- Non ci sono logaritmi di numeri negativi, puoi quindi procedere con la fase successiva.
3
Espandi il quoziente in due logaritmi. Una proprietà utile è descritta dalla formula: $\log _{a}({\frac {x}{y}})=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$ $\log _{{a}}({\frac {x}{y}})=\log _{{a}}(x)-\log _{{a}}(y)$ . In altri termini, il logaritmo di una frazione è uguale al logaritmo del numeratore meno quello del denominatore.^{[2]
X
Fonte di ricerca}
- Usa questa proprietà per espandere i termini a sinistra del segno di uguaglianza:
  $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=\log _{3}(27)-\log _{3}(6n)$ .
- Riporta quanto ottenuto nell'equazione originale:
  $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{3}(6)$
  →
  $\log _{3}(27)-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$ .
4
Semplifica il logaritmo se possibile. Se qualsiasi nuovo logaritmo dell'espressione ha un numero intero come soluzione, puoi semplificarlo in questa fase.
- L'esempio considerato finora ha un nuovo termine: $\log _{3}(27)$ . Poiché 3³ = 27, devi semplificare $\log _{3}(27)$ in 3.
- L'equazione completa ora appare come:
  $3-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$ .
5
Isola la variabile. Proprio come in tutti i problemi di algebra, vale la pena isolare il termine che contiene la variabile in un lato dell'equazione; combina i termini come possibile per semplificare il problema.
- $3-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$
  $9-\log _{3}(6n)=-\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(6n)=9+\log _{3}(6)$ .
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Sfrutta altre proprietà dei logaritmi quando necessario. Per isolare la variabile dal resto dell'equazione riscrivi i termini utilizzando diverse proprietà degli stessi.
- Nell'esempio considerato in precedenza, n è ancora "intrappolato" dentro il termine $\log _{3}(6n)$ .
  Per poter isolare la variabile, usa la proprietà del prodotto fra logaritmi: $\log _{a}(bc)=\log _{a}(b)+\log {a}(c)$
  $\log _{3}(6n)=\log _{3}(6)+\log _{3}(n)$ .
- Inserisci quanto trovato nell'equazione completa:
  $\log _{3}(6n)=9+\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(6)+\log _{3}(n)=9+\log _{3}(6)$ .
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Continua la semplificazione finché non trovi la soluzione. Ripeti più volte le medesime tecniche algebriche e logaritmiche finché non giungi al risultato. Se non è un numero intero, usa una calcolatrice e arrotonda la soluzione al decimale più significativo.
- $\log _{3}(6)+\log _{3}(n)=9+\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(n)=9$
  Poiché 3⁹ = 19683, n = 19683.
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