Come Semplificare le Frazioni Algebriche

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Le frazioni algebriche (o funzioni razionali) possono sembrare estremamente complesse a prima vista e assolutamente impossibili da risolvere agli occhi di uno studente che non le conosce. È difficile capire da dove iniziare osservando l'insieme di variabili, numeri ed esponenti; per fortuna, però, si applicano le medesime regole che si utilizzano per risolvere le normali frazioni, come 15/25.

Metodo 1

Metodo 1 di 3:

Semplificare le Frazioni

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Impara la terminologia delle frazioni algebriche. Le parole descritte di seguito verranno usate in tutto il resto dell'articolo e sono molto comuni nei problemi che prevedono le funzioni razionali.
- Numeratore: la porzione superiore della frazione (ad esempio (x+5)/(2x+3)).
- Denominatore: la porzione inferiore della frazione (ad esempio (x+5)/(2x+3)).
- Denominatore comune: è il numero che divide in maniera perfetta sia il numeratore sia il denominatore; per esempio, considerando la frazione 3/9, il denominatore comune è 3, dato che divide entrambi i numeri in maniera perfetta.
- Fattore: un numero che, moltiplicato per un altro, permette di ottenerne un terzo; per esempio, i fattori di 15 sono 1, 3, 5 e 15; i fattori di 4 sono 1, 2 e 4.
- Equazione semplificata: la forma più semplice di una frazione, di una equazione o di un problema che si ottiene elidendo tutti i fattori comuni e raggruppando le variabili simili tra loro (5x + x = 6x). Se non puoi procedere con ulteriori operazioni matematiche, significa che la frazione è semplificata.
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Ripassa il metodo per risolvere le frazioni semplici.^{[1]
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Fonte di ricerca} Questi sono i passaggi esatti che devi utilizzare per semplificare anche quelle algebriche. Considera l'esempio di 15/35; per semplificare questa frazione, devi trovare il denominatore comune che, in questo caso, è 5. Così facendo, puoi elidere tale fattore:
15 → 5 * 3
35 → 5 * 7
Ora puoi cancellare i termini simili; nel caso specifico di questa frazione, puoi elidere i due "5" e lasciare la frazione semplificata 3/7.
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Togli i fattori dalla funzione razionale come se fossero dei normali numeri.^{[2]
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Fonte di ricerca} Nell'esempio precedente, hai potuto elidere facilmente il numero 5 e puoi applicare il medesimo principio nelle espressioni più complesse, come 15x – 5. Trova un fattore che i due numeri hanno in comune; in tal caso è 5, dato che puoi dividere sia 15x sia -5 proprio per questa cifra. Come nell'esempio precedente, rimuovi il fattore comune e moltiplicalo per i termini "rimasti":
15x – 5 = 5 * (3x – 1) Per verificare le operazioni, moltiplica nuovamente 5 per il resto dell'espressione; otterrai i numeri da cui sei partito.
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Sappi che puoi eliminare i termini complessi proprio come quelli semplici. In questo genere di problema vale il medesimo principio utilizzato per le frazioni comuni. Questo è il metodo più elementare per semplificare le frazioni durante i calcoli.^{[3]
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Fonte di ricerca} Considera l'esempio: (x+2)(x-3)(x+2)(x+10)Osserva che il termine (x+2) è presente sia al numeratore sia al denominatore; di conseguenza, puoi eliderlo proprio come hai cancellato il 5 da 15/35: ~~(x+2)~~(x-3) → (x-3)~~(x+2)~~(x+10) → (x+10)Queste operazioni ti portano al risultato (x-3)/(x+10).

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Metodo 2

Metodo 2 di 3:

Semplificare le Frazioni Algebriche

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Trova il fattore comune al numeratore, la parte superiore della frazione. La prima cosa da fare quando si "manipola" una funzione razionale è semplificare ogni parte che la compone; inizia dal numeratore, suddividendolo nel maggior numero possibile di fattori.^{[4]
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Fonte di ricerca} Considera questo esempio: 9x-315x+6Inizia dal numeratore: 9x – 3; puoi notare che esiste un fattore comune per entrambi i numeri ed è 3. Procedi come faresti con qualsiasi altro numero, "portando fuori" il 3 dalle parentesi e scrivendo 3 * (3x-1); così facendo, ottieni il nuovo numeratore: 3(3x-1)15x+6
2
Trova il fattore comune al denominatore.^{[5]
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Fonte di ricerca} Continuando con l'esempio precedente, isola il denominatore, 15x+6 e cerca un numero che può dividere entrambi i valori in maniera perfetta; in tal caso, si tratta del numero 3, che ti permette di riformulare il termine come 3 * (5x +2). Scrivi il nuovo numeratore: 3(3x-1)3(5x+2)
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Elidi i termini simili. Questa è la fase in cui procedi alla vera semplificazione della frazione. Cancella ogni numero che compare sia al denominatore sia al numeratore; nel caso dell'esempio, elidi il numero 3: 3(3x-1) → (3x-1)3(5x+2) → (5x+2)
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Devi capire quando la frazione è ridotta ai minimi termini. Puoi affermarlo quando non ci sono altri fattori comuni da elidere. Ricorda che non puoi eliminare quelli che si trovano nelle parentesi; nel problema precedente, non puoi cancellare la variabile "x" di 3x e 5x, dato che i termini sono in realtà (3x -1) e (5x + 2). Di conseguenza, la frazione è completamente semplificata e puoi annotare il risultato:
3(3x-1)
3(5x+2)
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Risolvi un problema. Il modo migliore per imparare a semplificare le frazioni algebriche è continuare a esercitarsi. Puoi trovare le soluzioni subito dopo i problemi:
4(x+2)(x-13)
(4x+8) Soluzione: (x=13)
2x²-x
5x Soluzione:(2x-1)/5

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Metodo 3

Metodo 3 di 3:

Trucchi per i Problemi Complessi

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Trova l'opposto della frazione raccogliendo i fattori negativi. Supponi di avere l'equazione: 3(x-4)5(4-x) Osserva che (x-4) e (4-x) sono "quasi" identici, ma non puoi eliderli perché sono l'uno l'opposto dell'altro; tuttavia, puoi riscrivere (x - 4) come -1 * (4 - x), proprio come puoi riformulare (4 + 2x) in 2 * (2 + x). Questa procedura si chiama "raccogliere il fattore negativo". -1 * 3(4-x)5(4-x)Ora puoi eliminare facilmente i due termini identici (4-x) -1 * 3~~(4-x)~~5~~(4-x)~~ lasciando il risultato -3/5.
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Riconosci le differenze fra quadrati quando lavori con queste frazioni. Si tratta in pratica di un numero elevato al quadrato a cui viene sottratto un altro numero alla potenza di 2, proprio come l'espressione (a² - b²). La differenza fra due quadrati perfetti si semplifica sempre riscrivendola come moltiplicazione fra la somma e la differenza delle radici; in ogni caso, puoi semplificare la differenza di quadrati perfetti in questo modo: a² - b² = (a+b)(a-b) Si tratta di un "trucco" estremamente utile quando cerchi termini simili in una frazione algebrica.
- Esempio: x² - 25 = (x+5)(x-5).
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Semplifica le espressioni polinomiali. Si tratta di espressioni algebriche complesse, che contengono più di due termini, ad esempio x² + 4x + 3; per fortuna, molte di queste possono essere semplificate usando la scomposizione in fattori. L'espressione descritta in precedenza può essere formulata come (x+3)(x+1).
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Ricorda che puoi scomporre in fattori anche le variabili. Questo metodo è molto utile soprattutto con le espressioni esponenziali, ad esempio x⁴ + x². Puoi eliminare l'esponente maggiore come un fattore; in tal caso: x⁴ + x² = x²(x² + 1).

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Consigli

Quando raccogli i fattori controlla il lavoro svolto eseguendo la moltiplicazione, per assicurarti di ritrovare il termine di partenza.
Cerca di raccogliere il maggior fattore comune per semplificare completamente l'equazione.