Come Tracciare le Coordinate Polari su un Grafico

Co-redatto da Lo Staff di wikiHow

Il sistema di assi cartesiani è piuttosto familiare e semplice da imparare, ma non si rivela sempre comodo in tutte le occasioni. Come ti comporteresti se volessi tracciare il grafico dei raggi di una ruota o il movimento dell'acqua in uno scarico? In questo caso, un sistema circolare si presta meglio alla situazione; infatti, utilizzi già un concetto elementare di coordinate polari nella tua vita quotidiana.^{[1]
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Fonte di ricerca} Per esempio, se vuoi trovare l'origine del suono di una sirena, hai bisogno di due informazioni: la sua distanza e la direzione da cui proviene. Un sistema di coordinate polari mappa i punti nello stesso modo descrivendo la distanza $r$ da un punto fisso e l'angolo $\theta$ da un raggio definito.

Parte 1

Parte 1 di 4:

Tracciare le Coordinate Polari

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Prepara un piano polare. Probabilmente, hai già individuato dei punti con coordinate cartesiane usando la notazione $(x,y)$ $(x,y)$ per definirli all'interno di uno schema a griglia. Le coordinate polari utilizzano un grafico diverso basato sulle circonferenze:^{[2]
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Fonte di ricerca}
- Il centro del grafico (chiamato "origine" in un sistema cartesiano) è il polo e puoi identificarlo con la lettera O.
- Partendo dal polo, disegna una linea retta orizzontale verso destra. Questa è l'asse polare e puoi suddividerla in unità, proprio come faresti con l'asse delle x di un normale grafico cartesiano.
- Se hai un foglio di carta specifico per riportare le coordinate polari, potrebbero essere già presenti diverse circonferenze di varie dimensioni, tutte centrate nel polo; se utilizzi invece un normale foglio di carta bianca, non devi tracciarle.
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Comprendi il concetto di coordinate polari. Su un sistema di riferimento polare ogni punto viene definito da una coppia di coordinate espresse nella forma $(r,\theta )$ $(r,\theta )$ :
- La prima variabile, $r$ , indica il raggio, o coordinata radiale; significa che il punto definito si trova sulla circonferenza di raggio $r$ centrata sul polo (origine).
- La seconda variabile, $\theta$ , rappresenta l'angolo, o coordinata angolare; significa che il punto si trova sulla linea che attraversa il polo e forma un angolo pari a $\theta$ con l'asse polare.
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Ripassa la circonferenza unitaria. Quando si considerano le coordinate polari, l'angolo è in genere espresso in radianti al posto dei gradi. In questo sistema, una rotazione completa (360° o angolo giro) corrisponde a un'ampiezza di 2 $\pi$ $\pi$ radianti. Questo valore è stato scelto perché la circonferenza di un cerchio con raggio pari a 1 unità misura 2 $\pi$ $\pi$ unità; prendendo dimestichezza con tali concetti puoi lavorare più facilmente con le coordinate polari.
- Se il libro di testo esprime gli angoli in gradi, non preoccuparti per il momento; è possibile riportare le coordinate polari utilizzando anche dei valori in gradi per $\theta$ .
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Parte 2

Parte 2 di 4:

Disegnare un Punto

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Disegna una circonferenza con raggio pari a $r$ . Ogni punto che appartiene alla circonferenza $P$ $P$ possiede delle coordinate polari espresse nella forma $(r,\theta )$ $(r,\theta )$ . Inizia quindi a tracciare il cerchio di raggio $r$ $r$ e centrato sul polo.
- Il polo è il punto centrale del grafico, il medesimo in cui metteresti l'origine di un piano cartesiano.
- Per esempio, per disegnare il punto $(5,{\frac {\pi }{2}})$ , punta il compasso nel polo, divarica l'asta con la mina di cinque unità lungo l'asse polare e fai ruotare lo strumento per tracciare il cerchio.
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Misura l'angolo $\theta$ dall'asse polare. Appoggia il goniometro facendo coincidere il suo centro con il polo; misura quindi l'ampiezza dell'angolo $\theta$ $\theta$ partendo dall'asse. Se l'angolo è espresso in radianti e lo strumento è tarato solamente in gradi, puoi convertire le unità di misura o far riferimento alla circonferenza unitaria per un aiuto.
- Per quanto riguarda il punto $(5,{\frac {\pi }{2}})$ , grazie alla circonferenza unitaria puoi capire che ${\frac {\pi }{2}}$ corrisponde a 1/4 di giro, cioè a un angolo di 90° dall'asse polare.
- Misura sempre gli angoli positivi muovendoti in senso antiorario rispetto all'asse polare; gli angoli negativi si misurano in senso orario.
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Disegna una linea in base al segno di $r$ . La fase successiva consiste nel disegnare una linea che delimita l'angolo misurato; prima di procedere, però, devi sapere in quale direzione tracciarla. Osserva le coordinate polari $(r,\theta )$ $(r,\theta )$ per capire:
- Se $r$ è positivo, disegna una linea "in avanti" dal polo fino al segno dell'angolo che hai appena delineato.
- Se $r$ è negativo, traccia una linea "all'indietro" partendo dal segno dell'angolo sulla circonferenza fino al polo e proseguendo verso il lato opposto.
- Non farti confondere dalle coordinate cartesiane, il concetto di raggio positivo o negativo non corrisponde agli assi "x" e "y" negativi o positivi.
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Individua il punto in cui la linea retta e la circonferenza si intersecano. Questo è il punto con coordinate polari $(r,\theta )$ $(r,\theta )$ .
- Il punto $(5,{\frac {\pi }{2}})$ si trova su una circonferenza di raggio 5 centrata nel polo a 1/4 di giro in senso antiorario partendo dell'asse polare; le coordinate cartesiane equivalenti sono (0;5).
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Parte 3

Parte 3 di 4:

Esempi

Primo Esempio

Disegna il punto P corrispondente alle coordinate $(4,{\frac {-\pi }{3}})$ su un piano polare.

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Traccia una circonferenza di raggio $r=4$ . Stabilisci che il polo sia il suo centro.
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Misura un angolo pari a ${\frac {-\pi }{3}}$ radianti. Inizia la misurazione dall'asse polare (equivalente a quello delle ascisse); dato che l'angolo ${\frac {-\pi }{3}}$ è negativo, devi seguire il senso orario.
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Disegna una linea che delimita tale angolo insieme all'asse polare. Inizia a tracciarla dal polo; dato che il raggio è positivo, il punto di intersezione fra la linea e la circonferenza è $(4,{\frac {-\pi }{3}})$ .

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Secondo Esempio

Traccia il punto Q corrispondente a $(-2,{\frac {3\pi }{2}})$ su un piano polare.

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Costruisci la circonferenza di raggio $r=2$ . Usa il polo come centro della stessa; sebbene il raggio sia un numero negativo, in questa fase il segno non ha importanza.
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Misura l'angolo di ${\frac {3\pi }{2}}$ radianti. Dato che si tratta di un valore positivo, devi seguire il senso antiorario partendo dall'asse polare.
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Disegna la linea opposta all'angolo. Il raggio è un numero negativo, $-2$ , devi quindi tracciare la linea partendo dal polo, ma in direzione diametralmente opposta rispetto all'angolo che hai appena misurato. Il punto di intersezione fra la circonferenza e la linea corrisponde alle coordinate polari $(-2,{\frac {3\pi }{2}})$ .

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Parte 4

Parte 4 di 4:

Convertire le Coordinate Cartesiane in Polari

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Considera il punto $P(2,1)$ su un piano cartesiano. Traccia un segmento pari a 2 unità lungo l'asse delle ascisse (x) partendo dall'origine. Da questo riferimento disegna un secondo segmento pari a 1 unità e parallelo alla direzione positiva dell'asse delle ordinate (y); hai quindi localizzato il punto (2, 1) e puoi etichettarlo con la lettera P.
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Trova la distanza fra l'origine $O$ e $P$ . Disegna un segmento che unisce i due punti e che corrisponde al raggio $r$ $r$ delle coordinate polari. Questo segmento è anche l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, di conseguenza puoi calcolarne la lunghezza sfruttando i teoremi di geometria. Ad esempio:
- I cateti del triangolo hanno lunghezze pari a 2 e 1 unità.
- Puoi trovare l'ipotenusa usando il teorema di Pitagora: ${\sqrt {2^{2}+1^{2}}}={\sqrt {4+1}}={\sqrt {5}}\approx 2,236$ .
- La formula generale per trovare $r$ dalle coordinate cartesiane è: $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ , dove $x$ è la coordinata delle ascisse e $y$ quella delle ordinate.
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Trova l'angolo compreso tra $OP$ e il segmento positivo dell'asse delle x. Sfrutta la trigonometria per trovare questo valore:
- $\tan(\theta )={\frac {opposto}{adiacente}}={\frac {1}{2}}$
  $\tan ^{-1}({\frac {1}{2}})=\theta =26,56^{\circ }$
- La formula generale per trovare $\theta$ è $\theta =\tan ^{-1}({\frac {y}{x}})$ , dove $y$ è la coordinata cartesiana delle ordinate e $x$ è quella delle ascisse.
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Scrivi le coordinate polari. A questo punto, hai trovato i valori di $r$ e $\theta$ . Le coordinate cartesiane (2, 1) corrispondono approssimativamente a quelle polari (2,24; 26,6º) o a quelle precise $({\sqrt {5}},\tan ^{-1}({\frac {1}{2}}))$ .

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Consigli

Memorizzare la circonferenza unitaria, saper convertire i radianti in gradi e viceversa sono abilità molto utili quando si deve tracciare un grafico con coordinate polari.
Diversamente da quanto accade in un sistema di riferimento cartesiano, un punto ha infinite coordinate polari. Per esempio, il punto definito con (1, 2π) coincide con quello che ha coordinate (-1, π); inoltre, è il medesimo punto di (1, 4π), (1, 6π), (1, 8π) e così via. Ciascuna coppia di coordinate definisce quante volte devi completare un angolo giro, ma alla fine ti ritrovi sempre nella medesima posizione.^{[3]
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